模块学习评价(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有()A．A26个B．C24个C．A33个D．C35个【解析】∵A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，a∈B，且B中含有3个元素，则B中另外两个元素是从b，c，d，e四个元素中选出的，故满足题意的集合B有C24个．【答案】 B2．(2014·四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30 B．20C．15 D．10【解析】根据二项式定理先写出其展开式的通项公式，然后求出相应的系数．因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为T r＋1＝C r6x r，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为C26x3＝15x3，所以系数为15.【答案】 C3．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为() A．24 B．48C．72 D．120【解析】A参加时有C34·A12·A33＝48种，A不参加时有A44＝24种，共72种．【答案】 C4．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是() A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有【答案】 D5．李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是()A．0.4 B．1.5C．0.43D．0.6【解析】遇到红灯的次数服从二项分布X～B(3,0.5)．∴E(X)＝3×0.5＝1.5.【答案】 B6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．6种B．12种C．30种D．36种【解析】分两类：仅有一门相同时，可先选出相同的课程有A14种，再让甲选，有3种，最后乙选有2种，即共有A14×3×2＝24种；当两门都不相同时，共有C24种选法，故共有24＋C24＝30种．【答案】 C7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为()A．0.9 B．0.2C．0.7 D．0.5【解析】设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件“恰有一人击中敌机”的概率为P(A B＋A B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.【答案】 D8．已知随机变量Z服从正态分布N(0，σ2)，若P(Z>2)＝0.023，则P(－2≤Z≤2)＝()A．0.477 B．0.625C．0.954 D．0.977【解析】∵Z服从正态分布N(0，σ2)，且P(Z>2)＝0.023，∴P(－2≤Z≤2)＝1－0.023×2＝0.954.【答案】 C9．(2013·课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5 B．6C ．7D ．8【解析】 (x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！. ∴m ＝6.【答案】 B10．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A.35B.25C.59D.110【解析】 记“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 110＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59.【答案】 C11．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为( )A ．50 000B ．52 000C ．54 000D ．56 000【解析】 A 、B 均未被选中的种数有C 23C 25＝30，∴k ＝C 24C 26－30＝60.在(1＋60x 2)6展开式中，T r ＋1＝C r 6(60x 2)r ，令r ＝2，得T 3＝C 26602x4＝54 000x 4.故选C.【答案】 C图212．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( )A.13B.29C.49D.827【解析】 青蛙跳三次要回到A 只有两条途径：第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若x ～B (n ，p )且Ex ＝6，Dx ＝3，则P (x ＝1)的值为________．【解析】 Ex ＝np ＝6，Dx ＝np (1－p )＝3∴n ＝12，P ＝12 ∴P (x ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3×2－10 【答案】 3×2－1014．(2013·课标全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.【解析】 由题意知n ＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P ＝2C 2n＝114，即n 2－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8.【答案】 815．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是________．图3【解析】 由题图知X ～N (μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，∴P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝P (52＜X ≤68)＝0.682 6.∴人数为0.682 6×1 000≈682.【答案】 68216．(2012·陕西高考)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．【解析】 (a ＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5a5－r x r . 当r ＝2时，由题意知C 25a 3＝10，∴a 3＝1，∴a ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )．【解】 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意，得P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15， P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15. ∴ξ的分布列为ξ0 1 2 P 15 35 15(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝420＝15， ∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12， P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25. 18．(本小题满分12分)(2013·广东高考)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．图4(1)根据茎叶图计算样本均值．(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【解】 (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30，则x＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝13，该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件总数为C 14C 18＝32，所有基本事件的总数为C 212＝66，由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633.所以恰有1名优秀工人的概率为1633.19．(本小题满分12分)对于表中的数据x 1 2 3 4y 1.9 4.1 6.1 7.9(1)作散点图，你能直观上得到什么结论？(2)求线性回归方程．【解】 (1)如图，x ，y 具有很好的线性相关性．(2)因为x ＝2.5，y ＝5，∑4i ＝1x i y i ＝60，∑4 i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1y 2i ＝120.04.故b ∧＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2， a ∧＝y －b ∧x ＝5－2×2.5＝0，故所求的回归直线方程为y ∧＝2x .20．(本小题满分12分)已知(x －2x )n 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，(1)求n ；(2)求展开式中x 的一次项的系数．【解】 (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8n ，解得n ＝11.(2)由(1)知，展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 11(x )11－k (－2x )k ＝(－2)k C k 11x 11－3k 2.令11－3k 2＝1得k ＝3.此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ，所以展开式中x 的一次项的系数为－1 320.21．(本小题满分12分)(2014·天津高考)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解】 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k 6C 310(k ＝0,1,2,3)．所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65. 22．(本小题满分12分)我校随机抽取100名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：作的学生的概率是0.6.(1)请将上表补充完整(不用写计算过程)(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．(3)从学习积极性高的同学中抽取2人继续调查，设积极参加班级工作的人数为X ，求X 的分布列和期望．【解】 (1)(2)假设学生的学习积极性与对待班级工作的态度无关，由上表 K 2＝100×(40×30－10×20)250×50×60×40＝100×1 000250×50×60×40 ≈16.667>10.828.故假设不成立，在犯错误概率不超过0.001条件下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关．(3)X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 210C 250，P (X ＝1)＝C 110·C 140C 250，P (X ＝2)＝C 240C 250.X 的分布列为E (X )＝0×C 210C 250＋1×1040C 250＋2×40C 250＝1.6.。