最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案第一章常用逻辑用语(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，不能成为命题的是()A．指数函数是增函数吗？B．2 012>2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0<0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1且y≠2，那么命题p是命题q的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p q，且q p．所以选D.答案：D5．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A ．每个二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点 B ．对任意非正数c ，若a ≤b ＋c ，则a ≤b C ．存在一个菱形不是平行四边形D ．存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋7<0成立解析： A ，B 为全称命题，但A 为假命题；B 是真命题． 答案： B6．下列命题是真命题的是( ) A ．“若x ＝0，则xy ＝0”的逆命题 B ．“若x ＝0，则xy ＝0”的否命题 C ．若x >1，则x >2D ．“若x ＝2，则(x －2)(x －1)＝0”的逆否命题解析： A 中逆命题为：若xy ＝0，则x ＝0，错误；选项B 中，否命题为：若x ≠0，则xy ≠0，错误；选项C 中，若x >1，则x >2，显然不正确；D 选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．答案： D7．有下列命题：①2012年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析： ①中有“且”；②中没有；③中有“或”． 答案： B8．已知命题p ：任意x ∈R ，使x 2－x ＋14＜0，命题q ：存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．¬p 是假命题D ．¬q 是假命题解析： ∵任意x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立， ∴命题p 假，¬p 真；又sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时， sin x ＋cos x ＝2，∴q 真，¬q 假． 答案： D 9．给定下列命题：①“x >1”是“x >2”的充分不必要条件； ②“若sin α≠12，则α≠π6”；③“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题； ④命题“∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≤0”的否定． 其中假命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．①③D ．②③④解析： “x >1”是“x >2”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝π6，则sin α＝12正确，故②正确；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，③错误；④正确． 答案： C10．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a <－2D ．a >2解析： 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.∴－2>－a ，即a >2，故选D.答案： D11．下列说法错误的是( )A ．如果命题“¬p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0C ．命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题是“若a ，b 都不是偶数，则a ＋b 不是偶数”D ．特称命题“∃x ∈R ，使－2x 2＋x －4＝0”是假命题解析： A 中¬p 是真命题，则p 是假命题，p 或q 是真命题，∴q 是真命题，故A 正确．B 中，特称命题的否定是全称命题，B 正确．C 中，命题的否命题应为“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”，故C 错误．D 中，方程－2x 2＋x －4＝0无实根，D 正确．答案： C12．下列命题中为真命题的是( ) A ．若x ≠0，则x ＋1x≥2B ．“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件C ．直线a ，b 为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交D ．若命题p ：“∃x ∈R ，x 2－x －1＞0”，则命题p 的否定为：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0” 解析： 命题A 为假命题；当x ＜0时不成立；直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直的充要条件是a ＝±1，故B 为假命题；显然命题C 也是假命题．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．“对顶角相等”的否定为________________，否命题为________________． 解析： “对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案： 对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等14．a ＝3是“直线l 1：ax ＋2y ＋3a ＝0和直线l 2：3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合”的________条件．解析： 当a ＝3时，l 1：3x ＋2y ＋9＝0，l 2：3x ＋2y ＋4＝0，∴l 1∥l 2.反之，若l 1∥l 2，则a (a －1)＝6，即a ＝3或a ＝－2，但a ＝－2时，l 1与l 2重合．答案： 充要15．若“任意x ∈R ，x 2－2x －m >0”是真命题，则实数m 的取值范围是________． 解析： 由Δ＝(－2)2－4×(－m )<0，得m <－1. 答案： (－∞，－1)16．下列说法中正确的是____________．(填序号) ①命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题； ②“a ＞0”是“|a |＞0”的充分不必要条件；③命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题； ④“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件．解析： 命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，当m ＝0时，不成立，是假命题，故①不正确；若a ＞0，则|a |＞0，所以“a ＞0”是“|a |＞0”的充分条件；若|a |＞0，则a ＞0或a ＜0，所以“a ＞0”不是“|a |＞0”的必要条件．故②正确．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和“q ”中至少有一个为真命题．故③不正确． b ＝0时f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数时b ＝0，故④正确． 答案： ②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析： 逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根； (2)p ：存在一个实数x ，使得3x <0；(3)p ：若a n ＝－2n ＋1，则∃n ∈N ，使S n <0； (4)p ：有些偶数是质数．解析： (1)这一命题可表述为p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根．其否定为¬p ：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4>0恒成立，故¬p 为假命题．(2)¬p ：对于所有的实数x ，都满足3x ≥0.显然¬p 为真命题． (3)¬p ：若a n ＝－2n ＋1，则∀n ∈N ，S n ≥0.(假) (4)¬p ：所有偶数都不是质数．(假)19．(本小题满分12分)设命题p ：c 2<c 和命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，且p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数c 的取值范围．解析： 解不等式c 2<c ，得0<c <1， 即命题p ：0<c <1， ∴命题¬p ：c ≤0或c ≥1. 又由(4c )2－4<0，得－12<c <12，即命题q ：－12<c <12，∴命题¬q ：c ≤－12或c ≥12，由p ∨q 为真，知p 与q 中至少有一个为真， 由p ∧q 为假，知p 与q 中至少有一个为假， 所以p 与q 中一个为真命题，一个为假命题． 当p 真q 假时，实数c 的取值范围是12≤c <1；当p 假q 真时，实数c 的取值范围是－12<c ≤0；综上所述，实数c 的取值范围是－12<c ≤0或12≤c <1.20．(本小题满分12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解析： 由题意p ：－2≤x －3≤2， ∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x ＜1或x ＞5. q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴¬q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1. 又∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5. ∴2≤m ≤4.21．(本小题满分12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明： 必要性：∵a ＋b ＝1， ∴b ＝1－a .∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0. 充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， 即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0， 又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋3b24≠0，只有a ＋b ＝1. 综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 22．(本小题满分14分)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的范围． (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解析： 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0， 即a ＞13或a ＜－1.乙命题为真时，2a 2－a ＞1， 即a ＞1或a ＜－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ＜－12或a ＞13 . (2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，13＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13＜a ≤1或－1≤a ＜－12 .第二章 圆锥曲线与方程(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，116 B.⎝⎛⎭⎫116，0 C ．(1,0)D ．(0,1)解析： ∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a ，∴a ＝2，∴抛物线方程为x 2＝14y ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116. 答案： A2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析： ∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴x 2m 2＋y 2n 2＝1的右焦点为(2,0)， ∴m >n 且c ＝2. 又e ＝12＝2m ，∴m ＝4.∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12. ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案： B3．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线 解析： 依题意，P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )． 又P A →·PB →＝x 2，∴(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，即y 2＝x ＋6.∴点P 的轨迹是抛物线． 答案： D4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B.5C.62D.52解析： 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52.答案： D5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1 解析：2c ＝6，∴c ＝3，∴2a ＋2b ＝18，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4，∴椭圆方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.答案： C 6．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．1B ．0C ．－2D ．－8116解析： 设点P (x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，由题意得A 1(－1,0)，F 2(2，0)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20－x 0－2＋y 20， 由双曲线方程得y 20＝3(x 20－1)，故P A 1→·PF 2→＝4x 20－x 0－5(x 0≥1)，可得当x 0＝1时，P A 1→·PF 2→有最小值－2.故选C. 答案： C7．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析： 设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0＋12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1， 代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2， 化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案： A 8．抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12 B.32C ．1D.3解析： 由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 答案： B9．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2， 又OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即b 2－2b ＝0，解得b ＝0(舍)或b ＝2. 答案： A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析： 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即a 2＋b 2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以ba ＝3，解得a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B. 答案： B11．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)解析： 抛物线y 2＝8x 上的点到准线x ＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．答案： B12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32解析： 设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．解析： 由x 225＋y 216＝1知，a ＝5，b ＝4，∴c ＝3，即F 1(－3,0)，F 2(3,0)，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝10－6＝4，于是S △PF 1F 2＝12·|PF 1|·h ＝12×4×62－⎝⎛⎭⎫422＝8 2.答案： 8214．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析： 若k 不存在，则y 21＋y 22＝32.若k 存在，设直线AB 的斜率为k ，当k ＝0时，直线AB 的方程为y ＝0，不合题意，故k ≠0.由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，y 2＝4x 得ky 2－4y －16k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫4k 2＋32>32. ∴y 21＋y 22的最小值为32.答案： 3215．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析： 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 2的坐标为(c,0)，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， 由题意知|PF 2|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，a 2－c 2＝2ac ，⎝⎛⎭⎫c a 2＋2c a －1＝0，解得c a＝±2－1，负值舍去．答案： 2－116．已知双曲线C ：x 24－y 29＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．①直线y ＝32x ＋1与双曲线有两个交点；②双曲线C 与y 29－x 24＝1有相同的渐近线；③双曲线C 的焦点到一条渐近线的距离为3.解析： ①错误，因为直线y ＝32x ＋1与渐近线y ＝32x 平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y ＝±32x ；③正确，右焦点为(13，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3.答案： ②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．解析： 由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解析： 焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数关系得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 19．(本小题满分12分)(2014·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．解析： 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2<|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48. ∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1. 20．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (0,1)，且与直线l ：y ＝－1相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则|PQ |的最大值为多少？解析： (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得 x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ ⎝⎛⎭⎫1＋t 24[4t 2－4(2t 2－8)] ＝(8－t 2)(4＋t 2)≤6，即|PQ |的最大值为6.21．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A (4，m )到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．解析： (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，p ≠0其准线方程为x ＝－p2，∵A (4，m )到焦点的距离等于A 到其准线的距离， ∴4＋p2＝6，∴p ＝4，∴此抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，∵直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同两点A ，B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0Δ>0，解得k >－1且k ≠0，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． ∴所求k 的值为2.22．(本小题满分14分)已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为34，求双曲线的方程．解析： (1)依题意，有3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，即m 2＝8n 2，即双曲线方程为x 216n 2－y 23n 2＝1，故双曲线的渐近线方程是x 216n 2－y 23n 2＝0，即y ＝±34x . (2)不妨设渐近线y ＝±34x 与直线l ：x ＝c 交于点A ，B ，则|AB |＝3c 2，S △OAB ＝12c ·32c ＝34，解得c ＝1. 即a 2＋b 2＝1，又b a ＝34，a 2＝1619，b 2＝319，∴双曲线的方程为19x 216－19y 23＝1.第三章 空间向量与立体几何(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) ①AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →； ②2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →； ③AB →＋CA →＋BD →； ④AB →－CB →＋CD →＋AD →. A ．①② B ．②③ C ．②④D ．①④解析： ①中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →，不符合题意；②中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；③中，原式＝CD →，不符合题意；④中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →)＝0.故选C.答案： C2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.答案： D3．在下列四个命题中，真命题为( )A ．已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z cB ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则空间任意一个向量p 总可以写成p ＝x a ＋y b ＋z cC ．若a ，b ，c 不共面，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z cD ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则x a ＋y b ＋z c ＝0的充要条件是x ＝y ＝z ＝0 解析： 对于空间作为基底的三向量a ，b ，c 必须要有限制，即不共面，故C 正确． 答案： C4．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87C.87D.1914解析： AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， 则|AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案： C5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析： AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴〈AB →，AC →〉＝60°. 答案： C6．已知向量AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AN →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1，则平面AMN 的一个法向量是( ) A ．(－3，－2,4) B ．(3,2，－4) C ．(－3，－2，－4)D ．(－3,2，－4)解析： 设平面AMN 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝0，n ·AN →＝0，即⎩⎨⎧y ＝－z2，x ＝34z ，令z ＝4，则n ＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，可知选项D 符合． 答案： D7．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)或(1,1,1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)解析： 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案： B8．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.34a 2 B.12a 2 C.14a 2 D ．a 2解析： 如下图，AE →＝12(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →，AE →·AF →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案： C9．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34解析： 建系如图，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3)． 设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)．设AB 与面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.答案： D10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析： 建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，A (0,0,0)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1)． ∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12·2＝12. ∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 答案： B11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析： 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12. 设平面A 1DE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA 1→＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＋z 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z ，y ＝z 2.令z ＝1，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1. 平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝11＋14＋1·1＝23. 答案： B12．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.12B.24C.22D.32解析： 连接A 1D ，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0，1,1)．易知平面ABC 1D 1的一个法向量n ＝DA 1→＝(1,0,1)，与之同向的单位向量为n 0＝⎝⎛⎭⎫22，0，22，∴d ＝|C 1O →·n 0|＝24.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如图所示，在几何体A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为________．解析： AE →＝AB →＋BC →＋CE →， ∵|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0.又∵AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2，∴AE →2＝3，∴AE 的长为 3. 答案：314．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析： 如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1，1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 答案：6315．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________. 解析： 由已知可发现a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7－x ＋4y ＝53x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337y ＝177λ＝657.答案：65716．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.解析： GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案： －112AB →－13AC →＋34AD →三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解析： BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .18．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，若存在，求出AF ；若不存在，说明理由．解析： 假设存在F 点，使CF ⊥平面B 1DF ， 不妨设AF ＝b ，则F (2a,0，b )，CF →＝(2a ，－2a ，b )，B 1F →＝(2a,0，b －3a )， B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.∵CF →·B 1D →＝a 2－a 2＋0＝0，∴CF →⊥B 1D →恒成立．由B 1F →·CF →＝2a 2＋b (b －3a )＝b 2－3ab ＋2a 2＝0，得b ＝a 或b ＝2a . ∴当AF ＝a 或AF ＝2a 时，CF ⊥平面B 1DF .19．(本小题满分12分)三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°且OB ＝OO 1＝2，OA ＝ 3.求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．解析： 以O 为原点，分别以直线OA ，OB 为x 轴、y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)． 设A 1B 与AO 1所成的角为α，则 cos α＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝17.故异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.20．(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解析： (1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t ，0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0. 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)． 因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →， 即AC ⊥B 1D .(2)由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)，B 1C 1→＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 21．(本小题满分12分)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M ，N 分别为AB ，SB 的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求二面角N －CM －B 的余弦值．解析： (1)证明：取AC 中点O ，连接SO ，BO ，由于SA ＝SC ， ∴SO ⊥AC .又∵△ABC 为正三角形， ∴BO ⊥AC .又∵BO ∩SO ＝O ，且BO ，SO 在平面SBO 上，∴AC ⊥平面SBO ，∴AC ⊥SB . (2)∵平面SAC ⊥平面ABC ，SO ⊥AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥OB .以点O 为原点，OA ，OB ，OS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,23，0)，S (0，0，22)，C (－2,0,0)．∴M (1，3，0)，N (0，3，2)，∴MN →＝(－1,0，2)，MC →＝(－3，－3，0)． 设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·MC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，－3x －3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝－3x .取z ＝1，得n ＝(2，－6，1)． 又OS →＝(0,0,22)是平面BCM 的法向量，易知所求二面角θ为锐角， ∴cos θ＝|n ·OS →||n ||OS →|＝223×22＝13，∴二面角N －CM －B 的余弦值为13.22．(本小题满分14分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)求证：BC 1∥平面A 1CD . (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．解析： (1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.。