第二章
有导体时的静电场
§2.1 静电场中的导体
2.1.1 静电平衡 当自由电子不做宏观运动时的状态
1.带电导体 中性导体 孤立导体
1)带电导体:总电荷不为零的导体
2)中性导体:总电荷为零的导体
3)孤立导体:与其他物体距离足够远的导体
物理上说孤立导体之外没有其他导体
2. 导体的静电平衡条件 E
静电感应:在电场的作用下,导体中的 自由电荷将发生移动,结果使导体的 一端带正电,另一端带负电.
2.1.2 带电导体所受的静电力
设 是S 导体表面含P点的小面元，则 所 S受的静电场力为：
FE(p) S
E ( p ) 是除 S外所有电荷在p点贡献的场强
P1 是 P 沿 表 面 法 向 稍 作 外 移 之 点 , 则
P1点场强为
E( p1) 0 en
P1 en
••
P
分成两部分为
enE (P 1)E S(P 1)E (P 1) 0
E
E
Ei 0
E
Ei EE
导体的静电平衡状态：
导体的内部和表面都 没有电荷作任何宏观 定向运动的状态.
FqEi eEi
导体静电平衡条件：
导体内任一点的电 场强度都等于零
推论 (静电平衡状态性质)
(1) 导体是等势体，导体表面是等势面
证： 在导体上任取两点 p , q
q
VpVq pEi dl 0
p1• p2• AB
故
1 4 2 3
又 q A 1 S 2 S ; q B 3 S 4 S
en
1 2 3 4
两式相减，并考虑到上两式得
p1• p2•
1
4
qA qB 2S
2
3
qAqB 2S
AB
讨论
（1） qA 时qB
1 4 0
2
3
qA S
（2） q A q时B
1
4
qA S
2 3 0
i
V
体积元 dV 任0取,只有 0
导体带电只能在表面！
（3）在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与表面
垂直，场强大小与导体表面对应的电荷面密度成正比.
en
证明：
EEen
E d S E e nd S
p1
E
S
ES S
0
E 0 en
导体外紧靠表面处任取一点P1，过p1做与导体表面平行的小面元，以小面元 为底做与表面垂直的短柱体，其另一底面在导体内部。
导体表面
其中：
ES (P1) 是 S在P1处产生的场强
E ( P1 ) 是除 之S 外的电荷在P1处产生的场强
因为P1可任意靠近P，对它而言 S 可视为均匀带电无限大平面，
所以有
ES (P1) 20 en
代入上式得
enE (P 1)E S(P 1)E (P 1) 0
E( P1 )
2 0
en
但中性板的两壁出现等值异号电荷。
§2.2 封闭金属壳内外的静电场
2.2.1 壳内空间的场 （1）.壳内空间无带电体的情况
1 .用反证法可以证明，不论壳外带电情况如何，壳内空间 各点场强必然为零。
设壳内有一点P的场强不为 零，就可通过它作一条电场线。 这条场线既不能在无电荷处中断， 又不能穿过导体，只能起于壳内 壁的某点而终止于另一点。
-
B
+
等势体
(1)空腔原不带电，腔内电荷q ，腔内、外表面电量？
q内 q q外 q
--q- -- qq
(2)空腔原带电Q, 腔内电荷q ，腔内、外表面电量？
q内 q q外 Q q
Qq
-- q- --- q
2.1.5 平行板导体组例题
例1 长宽相等的金属平板A和B在真空中平行放置（如图），
2.若考虑导体表面稍微往里的点p2，
0e nE(P 2)E s(P 2)E '(P 2)0
Es(P1)Es(P2)20en
场强在导体表面一点p的突变完全是
由含p的小面元的场强的突变造成的
P1 en
• •
P
导体表面
2.1.3 孤立导体形状对电荷分布的影响
尖形导体的电荷分布
孤立导体处于静电平衡时，它的表面各处的面 电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大（半径 越小）的地方，面电荷密度越大。反之越小
因为 E在 P点是连续的又相距极近，所以
P1 en
•
导体表面
E(P)E(P1)20 en
•
P
故 FE (p ) S2 0en S2 2 0 Sen
这就是导体表面任一面元 S 的受力公式，沿导体
表面积分便可求得整个导体所受的静电力。
讨论： 1.导体表面稍微往外的P1的总场强由两部分构成
enE (P 1)E S(P 1)E (P 1) 0
p q
因为静电平衡,导体内任一点的电场强度都等于零 导体静电平衡条件： Ei 0
Vp Vq
（2）导体内部电荷体密度为零，电荷只能分布于导体的表面
当带电导体处于静电平衡状态时,
导体内部处处没有净电荷存在,
电荷只能分布于导体的表面上.
dV
证明由：高在斯导定体理内任取体E积d元SdV1
0
i
qi
Ei 0, qi dV0
避雷针工作原理
避雷针高耸于周围建 筑物之上，可看作大 地这个导体的更为突 出的尖端，于是放电 总在它与雷云之间发 生。避雷针的良好接 地装置引导强大的雷 电流顺利入地。
尖端放电
尖端放电
2.1.4 导体静电平衡问题的讨论方法
电像法、复变函数法、图解法等。 这里说明用场线讨论问题的方法
注意：同一条场线不能起止于同一导体如图
板
间距离比长宽小得多，分别令每板带qA及qB的电荷。 求解每：板由表于面板的的电长荷宽密比度距。离大得多，可把板看成
无限大。四个无限大带电平面在P1的合场强为
E2 1 0en2 2 0en2 3 0en2 4 0en
en
1 2 3 4
静电平衡时E=0
故 12340
在B板内取点P2类似的
有 12340
这两点既然在同一场线上， 电势就不能相等，而与导体是等 势体矛盾。
p
•s
2.壳内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。
既然证明了壳内空间无电场，利用高斯定理可知壳的内壁处处
电荷密度 。0
在静电平衡状态下,导体空腔 内各点的场强等于零,空腔的 内表面上处处没有电荷分布.
（2）.壳内空间有带电体的情况
（3） qA 5q时B 2
1
4
3qA 10S
2
3
壁的电荷面密度。
解：每板内取一点可列三个方程，由三板的电荷又可列三个 方程，联立求解得
1
6
qA qB 2S
2345qA 2 SqB
1 2 3 4 5 6
•
•
•
Ac B
说明中性板的插入不改变原来两板的电荷，