有限单元法
有限元法：将结构物看成由有限个划分的单元组成 的整体，以单元结点上的值作为整个单元的平均值。它 是一种化整为零、集零为整、化未知为已知的方法。不 同的学科，所求解的参数不同。在结构力学中，主要有 以下三种：
● ● ●
位移型：以结点位移为未知量。 力型：以结点力为未知量。
混合型：某些地方以结点位移为未知量，另外一 些以结点力为未知量。 我们主要就“位移型”有限元进行讲解。
用矩阵表示为： u N u N u N N ui Nδ ⓔ i i j j j i uj 其中
Ni 1 x l Nj x l
（2-2）
有限单元法
② 进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，
有：

du dN ⓔ 1 1 ⓔ δ δ Bi dx dx l l B j δ ⓔ Bδ ⓔ
3 2
4
5
1
6
1
2
3
4
5
图2.1 弯曲杆件系统
图2.2 截面连续变化杆件系统
5 (8 9 1 0 ) 6 (1 1 1 2 1 3 ) 6 4 3 5 4 (5 6 7 ) 3 2
5 (1 3 1 4 1 5 ) 6 4 3 (7 8 9 ) 3
6 (1 6 1 7 1 8 )
5 4 (1 0 1 1 1 2 )
（2-3）
这里
1 1 B l l
为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：
E EBδ ⓔ
（2-4）
有限单元法
③ 求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚 度矩阵，设杆端i、j分别产生虚位移 ui 、 u j ，则由此引起的杆 轴任意截面的虚位移为：
u N ui ui N δ ⓔ
ⓔ T ⓔ 0
l

T
ⓔT

l
0
BT EABdx δ ⓔ
（2-6）
式中 Fd Fi
ⓔ
Fj ：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：
T
FE q( x) N T dx
ⓔ 0
l
（2-7）
k BT EABdx
ⓔ 0
l
（2-8）
则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：
FEⓔ为局部坐标系下等 这里k 为局部坐标系下的单元刚度矩阵， 效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载 q( x) 中可以包含 集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：
位移函数的假设合理与否，直接影响到分析的计算精度、 效率、可靠性。
有限单元法
3、单元特性分析
（1）几何方程：应变与位移之间的关系
ε Bδe
这里：ε —单元中任意一点的应变矩阵，
B —变形矩阵或应变矩阵，
（2）物理方程：应力与应变之间的关系（Hooke定律）
ζ DBδe Sδe
这里：ζ —单元中任意一点的应力矩阵，
y
5 ④ 3 1 ①
⑥
③
6 ⑤ 4 ② 2
图 1.1
图1.1
y
x
x
图1.2 有限单元法
2、 确定单元的位移模式 将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函 d 或 d 表示，写成： 数，即位移模式或位移函数，用
d N δ
e
这里： —单元中任意一点的位移矩阵， d
N —形函数矩阵 e δ —单元结点位移矩阵。
有限单元法
（2）程序设计 低级语言：机器语言、汇编语言等 高 级 语 言 ： BASIC ， C ， C++ ， FORTRAN ， JAVA ， LISP ， Matlab，Mathmatic等 目前所有有限元软件都是用FORTRAN语言编写的。程序设 计步骤： （1）提出问题，拟定解决方案； （2）构造数学模型； （3）画出程序流程图； （4）用选定的算法语言编写程序； （5）编译调试程序； （6）试验验证程序； （7）打包发行； （8）软件维护。 有限单元法
(2 3 4 )
1
1
2
1
(0 0 0 )
2 (0 0 1 )
2 (4 5 6 ) 1 (1 2 3 )
前处理法 图2.3 单元位移编码
后处理法
有限单元法
2.2 局部坐标系中的杆单元分析
2.2.1 拉压杆单元
u i F i
i q (x) j
F j
u j x
y
图2.4 拉压杆单元示意图
设杆单元长度为 l ，横截面面积为 A ，单元材料的弹性 模量为 E ，在局部坐标系中杆端荷载分别为 Fi 和 Fj ，杆端位 移分别为 u i 和 u j ，单元上的轴向分布荷载为 q( x)。
T
对应的虚应变为：
B δ ⓔ
ⓔT ⓔ l
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 Fd δ q( x) N δ ⓔdx W变
0
Adx
0
l
（2-5）
δ ⓔT BT EAB δ ⓔdx
0
l
将上式整理得：


有限单元法
Fd q( x) N dx δ δ
有限单元法
1.2 有限元法的发展
1) 早在公元3世纪的时候，我国数学家刘徽提出的用割元法 求圆周长的方法即是有限元基本思想的体现。 2) 20 世 纪 40 年 代 ， 麦 克 亨 利 （ McHenry ） 、 雷 尼 柯 夫 （ Hrenikoff）、纽马克（Newmark）等首次提出用框架方法 求解力学问题，用简单弹性杆排列代替连续体的各个小部 分，能够得到连续问题的相当好的解答。 3) 1943年，柯兰特（Courant）第一次假设饶曲函数在一个 划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单线性函数。 4) 1955年，德国斯图加特大学的J.H. Argyris教授发表了一 组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了有限元方法的理论 基础。 有限单元法
5) 第一个尝试：1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough） 等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用 于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆、梁、三角 形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答。 6) 第一次提出：1960年，克拉夫（Clough），建立在虚位移 原理或最小势能原理的基础上。在处理剖面弹性问题时， 第一次提出并使用“有限元方法”的名称 7) 1972年，Oden出版了第一本处理非线性连续体的专著。 8) 我国科技工作者：如胡昌海提出了广义变分原理，钱伟长 最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系， 冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题，钱令希研究 了余能原理等。 9) 基于变分原理的有限元法得到发展。 有限单元法
有限单元法
(Finite Element Method) 编著：丁科
2006年
有限单元法
第１章 绪论
有限单元法
1.1 概述
问题的求解方法：解析法、数值法、（半解析法） 解析法：问题的求解可以得到具体的数学表达式，可 以计算任意位置的问题的精确解答。如悬臂梁求挠度等。 数值法：得不到具体表达式，只能得到某些离散点处 的近似值。该方法包括：有限差分、有限元法、边界元法 、变分法等
有限单元法
这里 Fd M i M j 为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩 阵。由极小势能原理，取上述泛函的变分 p 0 ，可得： 或者写为： 设：
k
ⓔ l 0
ⓔ
T
δ
l 0
ⓔT

l
0
B GIBdx m( x) Ndx Fd ⓔT
T 0 l 0
l
( BT GIBdx)δ ⓔ m( x) N T dx Fd ⓔ
x x (1 )i j Nδ ⓔ l l
有限单元法
式中：δ ⓔ i j
为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。 由材料力学可知，截面扭矩为：
M GI d GIBδ ⓔ dx
T
式中：
B
dN 1 1 dx l l
有限单元法
有限元方法的实质：将复杂的连续体划分为有限多个 简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题，将 连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化成有限个参 数的代数方程组的求解问题。 有限元方法的基本思想：先化整为零、再积零为整， 也就是把一个连续体人为的分割成有限个单元，即把一个 结构看成由若干通过结点项链的单元组成的整体，先进行 单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进 行整体分析。
1.3 有限元法的分析过程
1、结构物的离散 将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元， 其中单元的大小和数目根据计算精度的要求和计算机容量来决 定。其步骤： ● 建立单元
● 对单元和结点编号
● 准备必需的数据信息 ● 建立坐标系
有限单元法
如图1.1所示，可以将杆系结构分成6 个单元，这样划分以后，共有6个结点。 如图1.2所示，纵向均匀受拉的带圆孔 的薄板， 根据对称性，取其中一部分分析，将其 划分为三角形单元。
有限单元法
① 单元位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的 位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即：
u( x) a bx
（2-1）
u(l ) u j
b u j ui l
由位移的边界条件： u(0) ui
b 可得系数 a 、 为：
a ui
x x u ( x) (1 )ui u j 这样，任意截面的位移 u为： l l
D —弹性矩阵，由单元材料的弹性常数确定，(弹性模量)
S —应力矩阵。
有限单元法
（3）利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度方程