y 2 x 2 y , 0 y 2 ,(如图).
改变积分次序,积分区域可以表示为:
x y x , 0 x 4 ,于是有 2

3.
2
0
dy 2 f ( x, y )dx dx x f ( x, y )dy .
y
0 2
2y
4
x

e
1
dx
ln x
0
f ( x, y )dy .
1 2
R2 ： y 1 x 2 , 2 y 5 ,
有
o
x
f ( x, y)dxdy
R
2
1
dy 2 f ( x, y )dx dy
y 2
2
5
2 y 1
f ( x, y )dx ．
y
2
yx
5.由圆 x 2 y 2 2 x , x 2 y 2 4 x 及直线 y x , y 0 所围成. 解：积分区域如图． 可以表示为两个 x 型区域: R1 ： 2 x x 2 y x , 1 x 2 ；
y2 x y , 0 y 4 ,于是有 4
4
f ( x, y)dxdy
R
0
dy y 2 f ( x, y )dx ．
4
y
(2) 将二重积分化为先 y 后 x 的累次积分 积分区域为 x 型区域: x y 2 x , 0 x 4 ,于是有

R
f ( x, y )dxdy dx
0 2
2
0
x3 x2 2 y x 3 y dy 2
2
y
(
0
2
19 3 3 2 13 y y )dy ． 24 8 6
7.
y 1 dxdy ，其中 R 是由 y x
R 及 x 0 所围成的闭区域.
解： 如图， 积分区域可以表示为 x 型区域: 2 x y x 2 1 , 0 x 1 . 于是有
R1
R2
R2 ： x 1 y 1 x ,
于是有
0 x 1．
( x +y)dxdy ( x+y)dxdy ( x +y)dxdy
R R1 R2
dx
1
0
1 x
1 x
( y x )dy dx
0
1
1 x
x 1
( x y )dy
o
x

x
4.
x
R
y dxdy ，其中 R 是由 y x 2 与 y x 所围成的闭区域.
2
解: 如图.积分区域可以表示为 x 型区域: x y 于是有
1 x
x , 0 x 1.
x ydxdy xdx 2
0 x
R
y dy
3 2 1 2 x [ y ]x2x dx 0 3
2009 大专 A 班数学分析第 13 章二重积分的计算练习题解答
一、求下列二重积分： 1.
( x
R
2
y 2 )dxdy , 其中 R ： 1 x 1 ， 1 y 1 .
1 1 1 1
2 y3 解： ( x y )dxdy dx ( x y )dy x y dx 1 1 1 3 1 R
0
4
2 x
x
f ( x, y )dy ．
3
2.由 x 轴及半圆周 x y r ( y 0) 所围成. 解：积分区域如图，有
2
2
2
y
r r 2 x2

R
f ( x, y )dxdy dx
r
0
r2 y2
f ( x, y )dy
f ( x, y )dx ．
r
x2 y2 r2
y
y 1 x2
5
f ( x, y )dy ．
2 表示为 x 型区域: y 1 x2 ,1 x 2 , x
有

R
f ( x, y )dxdy dx 2
1 x
2
1 x 2
表示为两个 y 型区域: R1 ：
2 x 2 ,1 y 2 ； y
2
1
xy 2
(3x 2 y )dxdy dx
R
0 2 2
2
2 x
0
(3x 2 y )dy 3xy y 2 0 dx 0
2
2
2 x
2
yx 2
2 x3 20 ) . (4 2 x 2 x )dx (4 x x 0 3 0 3
R
2
y 2 x )dxdy ，其中 R 是由直线 y 2 , y x 及 y 2 x 所围成的闭区域.
y x y,0 y 2. 2
解: 如图，积分区域可以表示为 y 型区域: 于是有
( x
R
2
y 2 x )dxdy
y 2 2 2
dy y ( x y x)dx
o
x
1
x
2
8.

R
sin x x dxdy ，其中 R 是由直线 y x , y 及 x 2 所围成的闭区域. 2 x
解：将二重积分化为先 y 后 x 的累次积分． 积分区域可表示为 x 型区域: 故
y yx
2
x y x , 0 x 2 （如图） ． 2
2 sin x x 1 2 1 sin x d x d y sin xdx (1 cos 2) ． d x d y x 0 0 x 2 2 x 2 R
y
o x
2
x 2
x
9.
sin y dxdy ，其中 R 是由直线 y x , y 1及 x 0 所围成的闭区域.
R
2
解：将二重积分化为先 x 后 y 的累次积分． 积分区域可表示为 y 型区域: 0 x y , 0 y 1 （如图） ． 故
1 y 1 1 2 2 sin y d x d y sin y d y d x y sin y 2dy (1 cos1) ． 0 0 0 2 R
解: 所给累次积分为先 y 后 x 的积分,积分区域为:
0 y ln x , 1 x e ,(如图).
5
改变积分次序,积分区域可以表示为: e x e , 0 y 1 ,于是有
1 x 1 x 1 0 1 1 ( y x)2 dx ( y x ) 2 dx 1 x 1 x 2 1 2 0 1 0 1 1 2 [1 (2 x 1) 2 ]dx [1 (2 x 1)2 ]dx ． 2 1 2 0 3

6.
( x
1
2 1 7 2 4 11 1 6 ( x 4 x 4 )dx ( x 4 x 5 ) . 3 0 3 11 5 55 0
1
5.
( x +y)dxdy , 其中 R ： x
R
y 1.
解：如图，积分区域为两个 x 型区域 R1 与 R2 之并， 其中 R1 ： 1 x y 1 x , 1 x 0 ，
dy
0
r
o
r
x
r2 y2
3.环形闭区域: 1 x y 4 . 解：积分区域如图．可分成 4 个小的 x 型区域(或 y 型区域),于是有
2
2

R
f ( x, y )dxdy dx
1
1
4 x 2 1 x 2
f ( x, y )dy dx
1 4 x 2
2
o
x
x
2
3.
x cos( x y )dxdy ,其中 R 是以 (0, 0) (π, 0) (π, π) 为顶点的三角形区域.
R
解: 如图，积分区域可以表示为 x 型区域: 0 y x , 0 x .于是有
y yx
x cos( x y )dxdy
R
2 2 2 2
2 x3 x 8 (2x )dx 4( ) . 1 3 3 3 0 3
1 2
1
2.
(3x 2 y )dxdy ，其中 R 是由坐标轴与 x y 2 所围成的闭区域.
R
y
解: 如图，积分区域可以表示为 x 型区域: 0 y 2 x , 0 x 2 .于是有
2 4 y 2
dy
1 1 y 2
f ( x, y )dx dy
1
2
o
f ( x, y )dx ．
1
2
4
x
三、改变下列累次积分的积分次序： 1.
dy
0
1
y
0
f ( x, y )dx .
解: 所给累次积分为先 x 后 y 的积分,积分区域为:
0 x y , 0 y 1 ,(如图).
y
y 2x
2 y x2 1 1

R
x dxdy y 1
1 x 2 1 1 1 x 2 1 dy x[ln( y 1)]2 x dx 0 y 1
1
xdx
0
1
2x
x ln( x 2 2)dx x ln(2 x 1)dx
0 0
9 1 ln 3 ln 2 ． 8 2
改变积分次序,积分区域可以表示为: x y 1 , 0 x 1 ,于是有