D {( x, y)a x b,1( x) y 2( x)},
其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
f ( x, y)d
D
y
y 2(x)
D

b
dx
2( x) f ( x, y)dy
a
1( x )
先对y 后对x的二次积分
y 1(x)
σ为D的面积, 则
m f ( x, y)d M
D
几何意义 设f ( x, y) 0,( x, y) D,则曲顶
柱体的体积介于以D为底,以m为高和以M为高的 两个平顶柱体体积之间.
6
性质6(二重积分中值定理) 设f (x, y)在闭区 域D上连续,σ为D的面积, 则在D上至少存在一点 ( ,), 使得
证 所求立体在xOy面上的投影区域为 y
y x
D : x2 y2 c2. 有:
V


D
a
( (
x) x)

b( y ( y)
)dxdy
O
x
x2 y2 c2

1 2

D
[
a
( (
x) x)

b( y) ( y)


D
a ( (
y) y)

b( x)]dxdy (x)
直线 y x 对称, 故将被积函数分项积分:
(2x 3 y)d 0
x2 y2a2
而
x2d
y2d 1
( x2 y2 )d
x2 y2a2
x2 y2a2
2 x2 y2a2 极坐标
1
2π
d
a r 3dr πa4 .
20
y2
1)dy
D2

1 0

x
2
y

y3
3
1 y
dx
1 x2
1
[
x
2

2

2 (1

x2
3
)2
]dx
0
33

1
(
x2

2)dx

2
1
(1
3
x2 )2 dx

1

2I

π

1.
0
3
30
33 83
其中 I
1
(1
3
x2 )2 dx
x sin t
D
D
(4)若将D分成两部分 D D1 D2,
D1, D2分别为D在y x的上方与下方部分,则
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy. y
D1
D2
D1
D2
O
y x
x
10
二、在直角坐标系中化二重积分为 累次积分
(1) 设f (x, y)在平面有界区域D上连续.D {( x, y) 0 x 1,0 y 1}.
解 将D分成D1与D2两部分.
y
1
D2
D1 x2 y2 1
| x2 y2 1 | d
O
1x
D
(1 x2 y2 )d ( x2 y2 1)d
D1
极坐标
由于 (1 x2 y2 )d
y
d D
x 1( y)
c
x 2( y)
先对x 后对y的二次积分. O
x
12
三、在极坐标系中化二重积分为累次积分
(1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.
D {( x, y) ,1( ) r 2( )}
其中函数 1( )、2( )在区间[ , ]上连续. r 2( )
密度为连续函数( x, y), 则它的质量M为:
M ( x, y)d .
D
3
（二）二重积分的性质
(重积分与定积分有类似的性质)
性质1(线性运算性质) 设、 为常数, 则
[f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d
π 2
cos4
tdt

3

1

π

3π
.
0
0
4 2 2 16
因此 |
x2

y2
1 | d

π 8

π 8

1 3

π 4

1. 3
D
24
例 选择适当的坐标计算: | y x2 | max{x, y}dxdy,
D
其中 D {( x, y) 0 x 1,0 y 1}. y
Oa
bx
11
(2) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.
D {( x, y)c y d,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
f ( x, y)d
D

d
dy
2( y)
f ( x, y)dx
c
1( y)
D
D1
其中 D1 D { y 0};
8
(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于 y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则
f ( x, y)dxdy 0,
D
f (x, y)对x为偶函数, 即 D
0
4
又
2d 2πa2 , 所以 原式 = πa4 2πa2 .
x2 y2a2
4
19
例 证明:曲面z a ( x) b ( y) , x2 y2 c2 , z 0 (x) ( y)
所围立体的体积等于 1 πc2(a b),其中 (u)是连续
2
的正值函数, 且a 0,b 0,c 0.
D
ID
D
I 11 I 1

I2
1
xdx
0
1 ydy I 1 I 2 1
0
4
I 1
I
2
f ( x, y) 1 4xy. 22
3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分
例 计算二重积分 | x2 y2 1 | d , 其中
D
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
9
(3)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若闭区域D关于直线y x对称,则
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy;
f ( x, y)d
D
r 1( )
D
f (r cos ,r sin )r drd θ
D


d
2( )
f
O
(r cos ,r sin )rdr;

1( )
A
rdrd 极坐标系中的面积元素
13
(2)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.
D {( x, y)0 2π,0 r ( )} 其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
f ( x, y)d
D
2π
( )
0 d 0 f (r cos ,r sin )rdr
r ( )
D
θ
o
A
极坐标系下区域的面积 rdrd .
16
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应 将积分域分割成几个子域, 使被积函数在 每个子域中保持同一符号, 以消除被积函 数中的绝对值符号.
17
典型例题
1.交换积分次序
例
计算积分
1
dx
0
1 x2
xy dy. 1 y3
解 交换积分次序.
y
原式 = 1
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则
f ( x, y)dxdy 0,
D
f (x, y)对y为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
y
y
dy x dx
0 1 y3 0
1
1 1 y2

dy
2 0 1 y3
O
1 6
1d(1 y3) 0 1 y3
1( 3
2 1).
y x2 1x
18
2.利用对称性
例 计算 ( x2 2x 3 y 2)d . x2 y2a2
解 积分域是圆 x2 y2 a2 , 故关于x、y轴、

1 2
(a

b)
D
dxdy

1 2
πc 2 (a

b).
20
3.坐标系的选择
例 计算二重积分 ( x y)dxdy,其中D : x2 y2 2x.
D
解 用极坐标. 对称性
原式 = 2
π
2 d
2cos
r cos rdr
0
0
2
π