第六弯曲应力第六章答案6.1钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。

（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为：EIM =ρ1则： ρEIM =，由弯曲正应力公式得ρσmaxmax My ==ρmaxEy ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯曲变形，其中性层的曲率半径22Dd D ≈+=ρ 2)2(maxD dE =σ==D Ed MPa 2004004.0102003=⨯⨯6.2 矩形截面梁如图所示。

b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。

（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程0)(=∑F M A得到： KN F F B A 44221=⨯⨯== 危险截面在梁的中点处：KNm ql M 442818122max =⨯⨯==I z =1212h b ⨯⨯=44310115212080121mm ⨯=⨯⨯MP a I My MPa I MyI My z d d z c c za a 83.201011526010442.101011523010404646=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯====σσσA F BF s F MM机械土木6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。

(h=d 36, b=d 33) 解：最大弯曲正应力：zz W My I M m a x m a x m a x m a x ==σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。

抗弯截面系数： )(61)(616132222b b d b d b bh W -=-==为b 为自变量的函数。

由 06322=-=b d dt dW 36 333222db d h d d b =-===6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。

一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。

（32a16ql 3,32a8ql 3）解：做出梁的弯矩图如右所示：（1）对于整体截面梁： 32232)2(3161a a a bh W z =⋅==故：3232maxmax 1633281a ql a qlW M z===σ （2）对于两根方木叠置由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有32163a ql 32163a ql M1机械土木M 8323211max3max 218361)81(21,61,21a ql a ql W M a W M M M z z =⋅=====σ 6.5 某梁的矩形截面如图，弯曲剪力Q y ＝40kN ，求截面上a 、b 、c 三点的弯曲剪应力。

（MPa 2a =τ，MPa 5.1b =τ，0c =τ）解：从图形上可以看出截面形心在其对称中心上， 且有483310200150121121mm bh I z =⨯⨯==3510625.57515050mm S z ⨯=⨯⨯=再有矩形截面梁的弯曲正应力bI S F z z S *=τ ，故 ,0=c τ 0.2200150104023233=⨯⨯⨯=⨯=A F S a τ MPa 5.11501010625.51040853=⨯⨯⨯⨯==*b I S F z z S b τ MPa 6.6 图示简支梁由三块木板胶合而成，l=1m, 胶缝的许用剪应力为[]MPa 5.0=τ，木材的许用弯曲正应力为[]MP a 10=σ，许用剪应力为[]MPa 1=τ，试求许可荷载P 。

（P=8.1kN ）解：依题给条件，对梁进行受力分析， 由平衡条件，列平衡方程，做出剪力图和弯矩图如右所示 （1）按木材弯曲正应力强度要求确定许可荷载[]101209061141412max max=≤⨯⨯⨯===σσP WPl W MN P 8640≤⇒ （2）按木材剪应力强度要求确定许可荷载 []112090212323max =≤⨯⨯=⨯=ττPA F SN P 14400≤⇒s F P Pl 1M2P Pl 4机械土木（3）按胶合面剪应力强度要求确定许可荷载[]5.09012090121)409040(21'3'=≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯==*ττP bI SF z z SN P 8100≤⇒综上所述可知 P=8100N=8.1KN6.7 在图a 中，若以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截出一部分，如图b 所示，试求在纵向面abcd 上由dA τ组成的内力系的合力，并说明它与什么力平衡。

（Q=x )x l (h4q3-） 解：有剪应力互等定律可知，纵向截面 上剪应力与横向截面上剪应力大小相等， 中性层上剪应力变化规律为：()()()Bh x l q Bh qx ql A x F x S 423 221323-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==τ纵截面abcd 上剪应力合力为：()()()hx l qx dx B Bhx l q dx B x F xx 423 4230-=⋅-=⋅=⎰⎰τ6.8 图示梁由两根36a 工字钢铆接而成。

铆钉的间距为s=150mm, 直径d = 20mm, 许用剪应力[]MP a 90=τ。

梁横截面上的剪力F s = 40kN 。

试校核铆钉的剪切强度。

（MPa 2.16＝τ） 解：查表可得，36a 工字钢的惯性矩 415800cm Ιz =，截面面积248.76cm =A 截面高度cm h 36=。

组合惯性矩为()()422812004876181580022cm .A d ΙΙz zc =⨯+=+=一根工字钢的截面对中性轴的静面矩为：3138048.7618cm S zc =⨯=*铆钉连接处的纵截面上的剪力流： m KN I S F f zzc /6810812001013801040863=⨯⨯⨯⨯==--*有铆钉间距 fQ S 铆2=，得每个铆钉承受的剪力为：a 'a 'b 'cd2h)()x τN sf Q 51002106815.023=⨯⨯==铆 铆钉的剪应力： 2.1614.3412=⨯⨯=d Q 铆τMPa < []τ=90 Mpa故，校核安全。

6.9 半径为r 的圆形截面梁，切掉画阴影线的部分后，反而有可能使抗弯截面模量增大（何故？）。

试求使W 为极值的α，并问这对梁的抗弯刚度有何影响？（O 78=α）解：切掉阴影部分后剩余的面积，是由4个相同的直角三角形和4个相同的扇形面积组成，一个直角三角形面积对水平直径的惯性矩为：()()a a r a r a r bh I x 33331sin cos 41cos sin 4141⋅===一个扇型面积对水平直径的惯性矩为：()()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=⋅⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⋅a a r d d d d dAy I rarAx sin 4124sin sin 4023222θθρρρθρθρ因为圆截面在中性轴附近聚集了较多的材料而离中性轴远处的材料却较少，当切掉适当的小弓形面积后，使之离中性轴远处的材料密集度增大，因而抗弯截面系数笔增大。

剩余面积对水平直径的惯性矩为：()a a r a a r a a r I I I xx x 4sin 48sin cos 2sin 41244434421-=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=抗弯截面系数： ()()aa a r a a a y I W xx s i n 84s i n 4s i n 44s i n 4813m a x -=-== ()()()()7800cos 4sin 4sin 4cos 440sin cos sin 4sin cos 4482443==⇒=---⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=a a a a a a a a a a a a a r da dW x 或者3max 791.0r W x =， 4774.0r I x =未切前 4433785.014.341785.014.341r r I r r W x x =⨯⨯==⨯⨯=比较后可知，切后抗弯截面系数增大，而抗弯刚度降低，因而使梁的抗断能力提高，抗弯曲变形能力降低6.10 试求图示梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力。

(提示：max τ发生在中性轴上。

)（MPa 00.9max =σ，MPa 05.1max =τ）解：KN ql F s 1523102max ,=⨯==KNm ql M 25.118310822max =⨯==2*48448750002550100502001001025.1)100200(121mm S mm I z z =⨯⨯-⨯⨯=⨯=-=MPa y I M z 00.91001025.11025.1186max max max=⨯⨯⨯==σMPa bI S F z zs 05.11001025.1875000101583*max ,max =⨯⨯⨯⨯==τ6.11 图示铸铁梁，材料的许用拉应力[]MPa 40t =σ，许用压应力[]MPa 100c =σ，4z cm 5965I =，mm 5.157y C =。

试校核梁的强度。

（MPa 8.52max c =σ，MPa 4.26max t =σ）KN F A 30452104120=⨯⨯+⨯=KN F B 10412104320=⨯⨯-⨯=KNm M KNm M 10,2021== mmy 5.725.1572301=-=sF M1AF BF 1y sF MM 机械土木A F BFMPa y I M MPa y I M MPa y I M MPa y I M c z cz t c z cz t16.125.72105965101040.265.157105965101081.525.157105965102031.245.721059651020461max,24611max ,2461max,14611max ,1=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯⨯==σσσσ][40.26][81.52max ,max ,t t c c MPa MPa σσσσ≤=≤=6.12 图示一铸铁梁，材料的许用拉应力与许用压应力之比为[][]3/1/c t =σσ，试求水平翼缘板的合理宽度b 。

（b=316mm ）170230170303034060)602340(3034030601+⨯+=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=b b b b y 1701701703701702301703040040012+⨯+=+⨯+-=-=b b b b y y][][2max ,1max ,c zc t zt y I My I Mσσσσ====][][21c t y y σσ=m mb b b b b 72.31590370170170690170690170901701703703117017037023017030=-⨯-⨯=⨯+=⨯+=⨯+⨯+6.13 图所示矩形截面悬臂梁，承受载荷 F y 和 F z 作用，且F y = F z = F = 1.0 kN,截面高度h = 80 mm ，宽度b = 40 mm ，许用应力[]MPa 160=σ，a = 800 mm 。