w.
co
m
2 ⎧11.2 − 40 + (− 20 ) ⎛ − 40 + 20 ⎞ 2 d 解（1） σ 1,3 = ± ⎜ MPa ， σ 2 = 0 ⎟ + (− 40 ) = ⎨ 2 2 ⎝ ⎠ ⎩− 71.2 2 × (− 40 ) （2） tan 2α 0 = − = −4 ， α 01 = −38.0° − 40 − (− 20 ) σ −σ3 （3） τ max = 1 = 41.2 MPa 2
课
后
答
案
网
ww
w.
γ xy = γ yz = γ zx = τ xy
G
7-3 何谓单向应力状态？何谓三向应力状态？何谓纯剪切应力状态？ 答 单向应力状态是在 1 个单元体的 3 个主应力中，仅有 1 个主应力不为零。 三向应力状态指在 1 个单元体的 3 个主应力均不为零。 纯剪切应力状态是 1 种特殊的平面应力状态， 其单元体的 2 个面上无应力， 其余 4 个面 上只有切应力。
a 解 σ 45° =
课
c 解 σ −60 =
τ −60°
后
10 − 20 10 − (− 20 ) + cos(− 120°) − 15 sin (− 120°) = 0.490 MPa 2 2 10 − (− 20 ) = sin (− 120°) + 15 cos(− 120°) = 20.5 MPa 2
（3） τ max
c 解 （1） σ 1,3 = ±25 MPa ， σ 2 = 0 （2） tan 2α 0 = （3） τ max
课
后
答
b 解 （1） σ 1,3 =
⎧57 50 50 2 ± + (− 20 ) = ⎨ MPa ， σ 2 = 0 2 2 ⎩ − 7 .0 2 × (− 20 ) （2） tan 2α 0 = − = −0.80 ， α 01 = 19.3° 50 σ −σ 3 （3） τ max = 1 = 32 MPa 2
kh
τ yz τ zx
G G
1 ⎡σ x − μ (σ y + σ z ) ⎤ , ⎦ E⎣ 1 ⎡σ y − μ (σ z + σ x ) ⎦ ⎤, εy = ⎣ E 1 εz = ⎡ σ z − μ (σ x + σ y ) ⎤ ⎦, E⎣
εx =
上式称为一般应力状态下的广义胡克定律。 正应力只产生正应变， 并考虑横向变形效应 （泊松效应） ， 用叠加原理求得在 σ x ，σ y 和
σ x +σ y
2 σ x −σ y 2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α =
σ +σ
2
+0−0 =σ
sin 2α + τ xy cos 2α =
σ −σ
2
sin 2α + 0 = 0
故面 AB 与面 AC 间夹角为
θ = 180° −
7-7 图 (a) 所示，在处于二向应力状态物体的边界 bc 上，点 A 处的最大切应力为 35 MPa 。求点 A 的主应力。若在点 A 周围以垂直于轴 x 和轴 y 的平面分割出单元体，求 单元体各面上的应力分量。
co
2
m
平面，其中 1 个是极大正应力所在的主平面，另 1 个是极小正应力所在的主平面；
定处于纯剪切状态吗？ 答 是。 p =
σ 2 + τ 2 = const
1 (σ i − μ (σ j + σ k )) ，当 σ i = 0 时，若 σ j + σ k ≠ 0 ，则 ε i ≠ 0 。 E 1 (σ i − μ (σ j + σ k )) ，当 σ i = 0 时，若 σ j + σ k ≠ 0 ，则 ε i ≠ 0 ， E
72° = 144° 2
网
(a)
ww
(a)
w.
107
kh
(b) (b)
da
w.
co
7-6 已知某点 A 处截面 AB 与 AC 的应力如图所示（应力单位为 MPa） ，试用应力圆法 求该点的主应力大小和主应力的方位及面 AB 与面 AC 间夹角大小。本题若用解析法求解， 方便吗？
m
解 tan θ =
m
d 解 σ 30° =
τ 30°
7-2 (1) (2) (3)
30 + 50 30 − 50 + cos ° = 35 MPa 2 2 30 − 50 = sin 60° = −8.66 MPa 2
已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa） ，用解析法计算： 主应力大小，主平面位置； 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； 最大切应力。
课
f 解 （1）
2 ⎧37 − 20 + 30 ⎛ − 20 − 30 ⎞ 2 ± ⎜ MPa ⎟ + 20 = ⎨ 2 2 ⎝ ⎠ ⎩− 27 2 × 20 （2） tan 2α 0 = − = 0.80 ， α 01 = 19.3° − 20 − 30 σ −σ3 （3） τ max = 1 = 32.0 MPa 2
即
w. da
⎛σ x −σ y ⎞ 2 ⎟ τ max = ⎜ ⎜ ⎟ + τ xy = 35 2 ⎝ ⎠ σ x +σ y σ x −σ y + × (− 0.28) − τ xy × 0.96 = 0 2 2 σ x −σ y × 0.96 + τ xy × (− 0.28) = 0 2 2 ⎛σ x −σ y ⎞ 2 ⎜ ⎟ + τ xy = 1 225 ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
2
（a）
m co
（b） （c）
或
σ x = −44.8 MPa ， σ y = −25.2 MPa ， τ xy = −33.6 MPa σ 1 = σ 2 = 0 ， σ 3 = −70 MPa
7-8 图示棱柱形单元体上 σ y = 40 MPa ，其面 AB 上无应力作用，求 σ x 及 τ xy 。
7-8 若某一方向的主应力为零，其主应变一定为零吗？ 因为 ε i = 答 不一定。
7-9 若受力构件内某点沿某一方向有线应变，则该点沿此方向一定有正应力吗？ 因为 ε i = 答 不一定。
即有正应变的方向，但其正应力可为 0。 7-10 过受力构件上任一点，其主平面有几个？ 答 过受力构件上任一点，其主平面至少有 3 个。
答
案
网
τ 22.5°
ww
b 解 σ 22.5° =
− 30 + 10 − 30 − 10 cos 45° − 20 sin 45° = −38.3 MPa + 2 2 − 30 − 10 = sin 45° + 20 cos 45° = 0 2
w.
103
kh
da
w.
co
τ 45°
30 + 10 30 − 10 + cos 90° − (− 20 )sin 90° = 40 MPa 2 2 30 − 10 = sin 90° + (− 20 )cos 90° = 10 MPa 2
课
后
答
案
网
ww
7-13 用塑性很好的低碳纲制成的螺栓，当拧过紧时，往往沿螺纹根部崩断，试分析其 破坏原因。 答 螺纹根部处于三向受拉应力状态，切有叫大的应力集中。脆断。
w.
102
kh
7-12 水管在冬天常发生冻裂，为什么冰不破碎而钢管却破裂？ 答 冰的密度比水小，结的冰成三向受压，呈现良好的塑性，不破碎；钢管因冰体积膨 胀受拉，加上温度低，呈现冷脆性，被拉断。
− 2 × 25 ， α 01 = −45° 0 = 25 MPa
案
网
ww
w.
104
⎛ 50 ⎞ = ⎜ ⎟ + 20 2 = 32.0 MPa ⎝ 2 ⎠
kh
2
da
2 ⎧57.0 50 + 0 ⎛ 50 − 0 ⎞ 2 a 解（1） σ 1,3 = ± ⎜ MPa ， σ 2 = 0 ⎟ + 20 = ⎨ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎩ − 7 .0 2 × 20 （2） tan 2α 0 = − = −0.80 ， α 01 = −19.3° 50 − 0
da
w.
7-11 石料、极硬的工具钢在轴向压缩时，会沿压力作用方向的纵截面裂开，为什么？ 答 石料、极硬的工具钢可视为脆性材料，可用第 2 强度理论（最大拉应变理论）解释 其在轴向压缩时，会沿压力作用方向的纵截面裂开。
co
m
习 题
，用解析法计算图中指定截面的正应力 7-1 已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa） 与切应力。
σ z 的共同作用下的正应变；切应力只产生切应变。
它适用于线弹性、 小变形条件 （以保证叠加原理可用， 保证正应力和切应力无偶合作用） 。 其任一斜截面上的总应力 p 为常量， 则该单元体一 7-7 若某一平面应力状态的单元体，
101
da
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
w.
σ max ⎫ σ x + σ y ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 ± ⎜ 用式 ⎬= ⎟ + τ xy 可确定极大和极小的 2 个主应力。 σ min ⎭ 2 ⎝ 2 ⎠
代入式（b）得
σ 60° =
后
σ x + 40 σ x − 40
2τ xy
σ x −σ y
可以求出相差 90o 的 2 个角度 α 0 ，它们确定 2 个相互垂直的
7-4 平面应力状态的极值切应力就是单元体的最大切应力吗？ 答 不一定。若该平面应力状态算出的 2 个极值主应力 1 正 1 负，则该平面应力状态的 极值切应力就是单元体的最大切应力。 7-5 脆性材料适用哪几个强度理论？塑性材料适用哪几个强度理论？莫尔强度理论适 用于什么条件？ 答 一般情况下，第 1，2 强度理论适用脆性材料。 第 3，4 强度理论适用塑性材料。 莫尔强度理论适用于抗拉和抗压强度不同的脆性材料。 7-6 何谓广义胡克定律？该定律是如何建立的？其适用范围是什么？ 答