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浙江工业大学材料力学第7章答案

浙江工业大学材料力学第7章答案7.1一实心圆杆1,在其外依次紧套空心圆管2和3。

设三杆的抗拉刚度分别为E 1A 1、E 2A 2及E 3A 3,此组合杆承受轴向拉力F ,三杆之间无相对摩擦。

试求组合杆的伸长量。

解:平衡方程:F F F F N N N =++321(1)变形协调方程:333222111A E lF A E l F A E l F N N N == (2)方程(1)和(2)联立求解,得到:332211111AE A E A E AFE F N ++=332211222A E A E A E A FE F N ++= 332211333A E A E A E A FE F N ++=组合杆的伸长量为:332211111A E A E A E FlA E l F l N ++==∆7.2 在温度为2︒C 时安装铁轨,两相邻段铁轨间预留的空隙为Δ=1.2mm 。

当夏天气温升为40︒C 时,铁轨内的温度应力为多少?已知:每根铁轨长度为12.5m ,E =200GPa ,线膨胀系数α=12.5×10-6 m /m ⋅︒C 。

解:没有约束情况下,铁轨自由热膨胀时的伸长量mm9375.5m 109375.55.12)240(105.1236=⨯=⨯-⨯⨯=⋅∆⋅=∆--l T l T α (1)温度应力引起的铁轨长度变形为mm 0625.010200105.1233σσσσ=⨯⨯⨯===∆E l EA l F l N(温度应力σ的单位为MP a ) (2)变形协调条件为∆=∆-∆σl l T(3)方程(1)、(2)和(3)联立求解,可得MPa8.75=σ(压应力)7.3图示结构中,①、②和③三杆材料与截面相同,弹性模量为E ,横截面面积为A ,横杆CD 为刚体。

求三杆所受的轴力。

解:平衡方程F F F F N N N =++321(1)31=⋅-⋅a F a F N N (2)FF N 1F N 2F N 3变形协调方程:312l l l ∆+∆=∆ (3)物理方程:EAlF l N 112∆ EA l F l N 22=∆ EAl F l N 33=∆代入方程(3),可得补充方程 31231222N N N N N N F F F EAlF EA l F EA l F +=⇒+= (4) FC①②③DllaaF∆l 1∆l 2∆l 3DC①②③联立补充方程和平衡方程并求解,可得F F N 721= F F N 732= F F N 723= 7.4图示螺栓通过螺母拧紧套筒。

螺栓的螺距为0.65mm ,螺栓直径d 1=20mm ;套筒内径d 2=22mm ,外径D 2=32mm ;两者材料相同,E =200GPa 。

若将螺帽按拧紧方向再旋转60°,试求螺栓横截面上的正应力增加多少?不考虑螺母和螺栓头的变形。

解:拧紧螺帽后,螺栓受拉且轴力为1N F ,套筒受压且轴力为2N F ,平衡方程为021=-N N F F (1)螺母旋进60度后,则总位移为mm 108.065.036060=⨯=∆;假设螺栓伸长1l ∆,套筒缩短2l ∆,因而变形协调方程(如图)为∆=∆+∆21l l (2)物理方程为:211211111441d E lF d E l F EA l F l N N N ππ=⋅==∆(3)()()2222222222222441d D E l F d D E lF EA l F l N N N -=-⋅==∆ππ(4)方程(1)、(2)、(3)和(4)联立求解,可得250mm 套筒螺栓螺母kN641.151=N F螺栓横截面上的正应力为MPa 8.4920115644211=⨯⨯==πσA F N7.5 图示的刚性梁由三根钢杆联接,它们的截面积均为2cm 0.2=A ,钢的弹性模量E =200GPa ,其中杆3由于制造误差,其长度比杆1和杆2短l 0005.0=δ。

试求装配后各杆的应力。

解:平衡方程为0321=++N N N F F F(1)31=⋅-⋅a F a F N N (2)F N 1F N 2N 3变形协调方程为:()2312l l l ∆=-∆+∆δ,即δ=∆-∆+∆2312l l l (3)物理方程为EA lF l N 11=∆ EAl F l N 22=∆ EAlF l N ⋅=∆33(4)方程(4)代入方程(3),得到补充方程为δ=-+EA l F EA l F EA l F N N N 2312,即lEAF F F N N N δ=-+2312 (5) 补充方程联立平衡方程求解,可得 l EAF F N N 631δ==,lEA F N 32δ-=各杆的应力为l a a 123δ∆l 1∆l 2∆3①②③MPa 7.1660005.020*******=⨯===lll E δσσ MPa 3.3330005.020000031-=⨯-=-=ll l E δσ7.6图示结构的三根杆用同一材料制成,弹性模量为E ,杆1和杆3的截面积A A A ==31,杆2的截面积A A 22=。

试求载荷F 作用下各杆的内力。

解:受力图如下: 故平衡方程为 (1) θcos 60cos 21F F F N N =︒+ θsin 30cos 23F F F N N =︒⋅+ (2)根据结构变形图,有()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=∆=∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=∆ββδβδβδββδβδsin 21cos 2330cos cos sin 23cos 2160cos 321οοl l l故,变形协调条件为:2312321l l l ∆=∆+∆ (3)物理方程为 EAlF l N 11=∆,EAlF A E l F l N N 33230cos 222=⋅︒=∆,EAlF lN 33=∆ (4)方程(4)代入方程(3),得到补充方程为23132333N N N F F F =+(5)FFN 1FN 2FN 3θ方程(1)、(2)和(5)联立求解,可得()()F F N 6322sin 33cos 9341+-+=θθ,()F F N 632sin 33cos 32++=θθ,()()F F N 6322cos 33sin 3343+-+=θθ7.7 钢管壁厚δ1=2mm ,直径d 1=50mm ,套在直径为d 2=25mm 的实心钢轴外,两端与刚性法兰盘焊接,如图所示。

焊接前,轴上加200N·m 的扭转力偶,并在焊接过程中保持该状态。

焊接完后解除扭转力偶,试求钢管横截面上的扭矩。

解:焊接前,实心钢轴右端相对于左端的扭转角为0ϕ,扭矩为0T 。

焊接完后解除初始力偶后,钢管右端相对于左端的扭转角为1ϕ,扭矩为1T ;实心钢轴右端相对于左端的扭转角为2ϕ,扭矩为2T 。

受力平衡方程为:21=-T T (1)变形协调方程为:21ϕϕϕ=+ (2)物理方程为:()324650441111-⋅==πϕG lT GI l T p ,322542222⋅⋅==πϕG lT GIl T p ,3225200004200⋅⋅==πϕG lGI l T p (3)方程(1)、(2)和(3)联立求解,可得m N 9.1631⋅=T7.8 图示两端固定的圆截面实心阶梯轴,承受扭转力偶作用,如图所示。

若材料的许用切应力MPa 50][=τ,试设计轴的直径D 2。

解:平衡方程为eBCABM T T =+ (1)变形协调方程为BCAB ϕϕ= (2)物理方程为3242D G l T ABAB AB πϕ⋅=,3241D G l T BCBC BCπϕ⋅=(3)BC 段的扭转强度条件:][1631τπτ≤=D T BCBC(4)方程(1)、(2)、(3)和(4)联立求解,可得:mm2.772≥D ,取mm782=D。

7.9EI 。

ABCqaalAABBBDCCFM eaFa al/2(a)(b)(c)(d)Al/2l/2题7.9图解:(a )一次超静定梁。

F BABB CqaaACqaa解除多余支座约束B ,应用支反力BF 代替,得到图示静定基。

由叠加法可以得到截面B 的挠度为EIa q EI a F w BB384)2(548)2(43-= 变形协调方程为 0=Bw 于是可得45qaF B= 由0=∑AM可得0245)2(212=⋅+⋅+-a F a qa a q C ,()↑=83qaFC由结构几何与载荷的对称性,可知()↑=83qa F A(b )一次超静定梁。

AB D CFaa aAB D CFaaaF B解除多余支座约束B ,应用支反力BF 代替,得到图示静定基。

由叠加法可以得到截面B 的挠度为[][]aEI a a a a Fa a EI a a a a a F w BB36)3(36)2()3(2222222⋅--⋅⋅-⋅--⋅⋅=变形协调方程为0=Bw于是可得F F B87= 由0=∑AM可得3287=⋅-⋅+-a F a F Fa C ,()↓=F FC41由竖直向的受力平衡方程,可得()↑=F F A 83(c )一次超静定梁。

lABl/2(c)lABl/2F B解除多余支座约束B ,应用支反力BF 代替,得到图示静定基。

由叠加法可以得到截面B 的挠度为()EIl l Fl EI l l l F w B B 62336322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅--⋅=变形协调方程为 0=Bw于是可得F F B47= 由0=∑AM可得02347=⋅-⋅+l F l F M A ,FlMA41-=由竖直向的受力平衡方程,可得F F A 43=(d )一次超静定梁。

BBAl/2l/2M Al/2l/2解除多余支座约束B ,应用支反力BF 代替,得到图示静定基。

有叠加法可以得到截面B 的挠度为l EI l M EI l M EI l F w e e B B 2121221323⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=变形协调方程为 0=Bw于是可得lMF eB89= 由竖直向的受力平衡方程,可得lMF eA89= 由0=∑AM可得089=⋅+-l lM M M ee A ,eAM M 81-=7.10 图示悬臂梁AD 和BE ,通过钢杆CD 连接。

已知,kN 50=F ,梁AD 和BE 的抗弯刚度均为26m N 1024⋅⨯=EI ,CD 杆长m 5=l ,横截面面积24m 103-⨯=A ,弹性模量GPa 200=E 。

试求悬臂梁AD 在D 点的挠度。

解:一次超静定结构。

变形协调方程为CDD C l w w ∆=- (1)F C D AB 2m 2m E物理关系为EIa F w N D 33-=,()EIa F EI a a Fa w N C 36632+-⋅-=,EAlF l N CD=∆ (2)方程(1)和(2)联立求解,可得()kN454.45124533=+=EIlEAa EAFa F N 悬臂梁AD 在截面D 的挠度为mm05.51024320004545431233-=⨯⨯⨯-=-=EI a F w N D7.11 图示结构,AC 梁的EI 和CD 杆的EA 为已知,且a =l /2。

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