少？我们能得到什么结论？
y
3 2 1
如图，A,B两点间的距 离为5
B
A
-2 -1 -1 -2
0
1
2
3
x
结论：
y
|x2 –x1|
P1(x1 , y)
P2(x2 , y)
|x2 –x1|
P1(x1 , 0) O
P2(x2 , 0)
x
( x2 x1 ) x2 x1 当y1 = y2时, | P 1P 2 |
解： 作 AO ^ BC ，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴， 以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系如图 . 设 A(0, a), B(b,0), C (c,0), D(d ,0) .
因为 | AB |2 = | AD |2 + | BD | ?| DC | ,所以，由距离公式可得
1, 0), B(2,3) A(4,3), B(7, - 1) （2 ）
解: (1) AB
（1）A(-
直接利用公 式
2 1
2
3 0 3 2.
2 2
2 AB

7 4
1 3 5.
2
【变式练习】
求下列两点间的距离： (1）A(-3,0) , (2) C(2,1) , B(2,0) D(-5,1)
思考：已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如
何求点P1和P2的距离|P1P2|？
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
O
x
y y2 P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1
P1(x1,y1) Q(x2,y1) x2 x
O
x1
| P1Q || x2 x1 |
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 第1课时 两点间的距离公式
在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式； 如果把这个问题拓展到平面直角坐标系内又如何来 求两点间的距离呢？
xA A 0 AB ＝ x B -x A xB B
(x1,y2)
探究点 两点间的距离公式 思考：A（-2，0），B（3，0）两点间的距离是多
已知：P ，y1 和P2 x2，y2 ， 1 x1
试求：P1，P2两点间的距离.
P1 P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
o
y
P ，y1 1 x1

x
Qx1，y2
当y1=y2时， P 1P 2 | x2 x1 | 当x1=x2时， P 1P 2 | y2 y1 |
2
思考：A（0，2），B（0，-2）两点间的距离是 多少？我们能得到什么结论？ y
3 2 1 -2 -1 -1 -2 B A
如图，A,B两点间的距 离为4
1
0
2
3
x
结论：
y
|y2 –y1|
P1(0, y1) P1(x1 , y1)
|y2 –y1|
O x
P2(0, y2)
P2(x1 , y2)
2 | PP | ( y y ) y2 y1 当x1 = x2时, 1 2 2 1
解：因为 | BC |=
(3 - 5) 2 + (4 - 0) 2 = 2 5 ，
| AB |= | AC |=
(1- 3) 2 + (2 - 4) 2 = 2 2, (1- 5) 2 + ( 2 - 0) 2 = 2 5,
有 | AC |= | BC | , 所以 D ABC 是等腰三角形.
例 3. D ABC 中，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B，C 不重合） ， 且 | AB |2 = | AD |2 + | BD | ?| DC | ， 求证： D ABC 为等腰三角形.
b2 + a2 = d 2 + a2 + (d - b)(c - d ) ,
即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d). 又d - b? 0, 故- b- d = c- d , 即- b = c .
根据图形特点，建立适当 的直角坐标系，利用坐标 解决有关问题，这种方法 叫坐标法也称为解析法.
所以|AB|=|AC|定下列两点间的距离: (1)A（-3，1） ，B（5，1）. (2)A（1,-2）,B(1,7). (3)A(3,2), B(-1,5).
|AB|=8
|AB|=9 |AB|=5
4. 已知 D ABC 的三个顶点是 A(1,1),B(4,5),C(5,3), 试判断
D ABC 的形状.
解:|AB|=5,|BC|=
2
【提升总结】
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步:建立坐标系， 用坐标系表示有关的量 第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
1.已知点A（-2,-1），B（a，3）且AB=5，则a的值 是（ C ） A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5 2.已知点M（-1,3），N（5,1），点P（x，y）到M,N 的距离相等，则点P（x，y）所满足的方程是（ B ） A.x+3y-8=0 C.x-3y+9=0 B.3x-y-4=0 D.x-3y+8=0
y
·
1 3 C( , ) 2 2
| AB |= 2,| AC |=
3 2 3 2 ( ) +( ) = 2 2
· O A(-1,0)
·
B(1,0) x
有 | AC |2 + | BC |2 = | AB |2 ， 所以 D ABC 是直角三角形 .
根据边的 关系判断.
【变式练习】
已知 D ABC 的三个顶点是 A(1, 2), B(3, 4), C(5,0) ,试判断 D ABC 的形状.
P2 x 2，y2

两点间距离公式
y2)，则A,B两点间的距离公式为
一般地，若两点A,B的坐标分别为(x1，y1)， (x2，
| AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y 1 )2
特别地，点A（x，y）到原点（0，0）的距离为
| OA |
x2 y2
例1 求下列两点间的距离：
5 ,|AC|=
2 5,
满足|AB|2=|AC|2+|BC|2，所以 D ABC 是直角 三角形.
1.x轴上A，B两点间的距离公式
AB x B x A
2.平面直角坐标系中，A（x1,y1),B(x2,y2)两点间 的距离公式
AB ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 )
2
3 (3) E ( , 2
答案： (1）5
2),
3 F ( 2, ) 2
(2) 7 (3)26 2
1 3 ), 例 2.已知 D ABC 的三个顶点是 A(- 1, 0), B(1, 0), C ( , 2 2
试判断 D ABC 的形状 .
解：如图,因为 | BC |=
1 3 (1- )2 + ( )2 = 1 ， 2 2 3,