1.课题导入
基本不等式
的几何背景：
如图是在北京召开的第 24 界 国际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它 看上去象一个风车。新课
1．探究图形中的不等关系
在正方形ABCD中有四个全 等的直角三角形。设直角三 角形的两条直角边长为a,b那 么正方形的边长为 这样，4个直角三角形的面 积的和是2ab，正方形的面积 为
5.课外作业
课本第113页习题[A]组的第1题
由于 4 个直角三角形的面积小 于正方形的面积，我们就得到 了一个不等式：
探究图形变化过程
当直角三角形变为等腰直角 三角形，即a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有
2．得到结论：
3．思考：你能给出它的证明吗？
证明：因为
4．1）认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用 分别代替a、b ，可得 通常我们把上式写
性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
∴
＞0，
＞0
=2
（当且仅当x=y时，式中取等号。）
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 ∴ x＋y≥2 >0 x2＋y2≥2 >0
x3＋y3≥2
>0（当且仅当x=y时，式中取等号）
· 2 · 2
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2
＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，式中取等号）
4.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：
（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
作
2 ） 从不等式的性质推导基本不等
式
用分析法证明： 要证
（1）
只要证
a+b
（2）
0 （3） （4）
要证（2），只要证 a+b-
要证（3），只要证 （ - ）
0
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
3、例题讲解
例1 已知x、y都是正数，求证： (1) ≥2；
分析 ：在运用定理： 时，注意条件 a 、 b 均为正数，结合不等式的性质 ( 把握好每条
解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2 b ＋ c≥2
＞ c＋a≥2 · 2 · 2
>0 ＞0 =8abc
0 ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc. (当且仅当a=b=c时，上式取等号）
5.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋ b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数( )， 几何平均数（ ）及它们的关系 （ ≥ ）.它们成立的条件： (1)、前者只要求a、b都是实数，而后 者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。 它们既是不等式变形的基本工具，又是求 函数最值的重要工具 。