y [解析] (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 x 1 80 000 1 80 000 ＝ x＋ －200≥2 x· －200＝200， 2 x 2 x 1 80 000 当且仅当 x＝ ，即 x＝400 时等号成立， 2 x 故该单位月处理量为 400 吨时， 才能使每吨的平均处理成本 最低，最低成本为 200 元．
考向三 基本不等式的综合应用[互动讲练型] [例 3] (1)(2017· 湖北华师一附中联考)若 2x＋4y＝4，则 x＋ 2y 的最大值是________；
[解析] 因为 4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2 2x×22y＝2 2x＋2y，所 以 2x＋2y≤4＝22，即 x＋2y≤2，当且仅当 2x＝22y＝2，即 x＝2y ＝1 时，x＋2y 取得最大值 2. [答案] 2
———————[通· 一类]——————— 3．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给 社会．首批计划用 100 万元购得一块土地， 该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房， 楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关， 楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高 20 元．已知建 筑第 5 层楼房时，每平方米建筑费用为 800 元． (1)若建筑第 x 层楼时，该楼房综合费用为 y 万元(综合费用 是建筑费用与购地费用之和)，写出 y＝f(x)的表达式． (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层 建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
2x2－a (2)(2017· 浙江金丽衢十二校联考 ( 一 )) 若函数 f(x) ＝ x－1 (a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为 6，则实数 a 的值是( ) 3 A．0 B. 2 1 C．1 D. 2
2x2－a 2x－12＋4x－1＋2－a [解析] 由题意得 f(x)＝ ＝ ＝ x－1 x－1 2－a 2－a 2(x－1)＋ ＋4≥2 2x－1· ＋4＝2 4－2a＋4，当且仅 x－1 x－1 2－a 2－a 当 2(x－1)＝ ， 即 x＝1＋ 时， 等号成立， 所以 2 4－2a 2 x－1 3 ＋4＝6，即 a＝ ，故选 B. 2 [答案] B
[通· 一类] 2x 1．当 x>0 时，f(x)＝ 2 的最大值为________． x ＋1 2x 2 2 解析：∵x>0，∴f(x)＝ 2 ＝ ≤ ＝1， 1 2 x ＋1 x＋ x 1 当且仅当 x＝ ，即 x＝1 时取等号． x 答案：1
4 2．若 x<3，则函数 f(x)＝ ＋x 的最大值为________． x －3
[悟· 技法] 利用基本不等式求最值的常用技巧 (1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式． (2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子 进行恒等变形，如构造“1”的代换等． (3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本 不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致． 提醒：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函 数单调性求解．
(2) 设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x) ，则 g(x) ＝ 2 fx×10 000 10 x ＋71x＋100 10fx 1 000 ＝ ＝ ＝ 10x ＋ ＋ 1 000x x x x 1 000 710≥2 10x· ＋710＝910. x 1 000 当且仅当 10x＝ ，即 x＝10 时等号成立． x 综上可知应把楼层建成 10 层，此时平均综合费用最低，为 每平方米 910 元．
1 1 2．(2017· 郑州模拟)设 a>0，b>0.若 a＋b＝1，则 ＋ 的最小 a b 值是( ) 1 A．2 B. C．4 D．8 4 1 1 a＋b a＋b b a b a 解析：由题意 ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2 × a b a b a b a b b a 1 ＝4，当且仅当 ＝ ，即 a＝b＝ 时，取等号，所以最小值为 4. a b 2 答案：C
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 x＝y (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当⑨__________ 时，x＋ y 有最小值是⑩______( 2 p 简记：“积定和最小”)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当⑪__________ x＝y 时， 2 s xy 有最大值是⑫__________(简记：“和定积最大”)． 4
第四节 基本不等式
[小题热身] 1． 若 a， b∈R， 且 ab>0， 则下列不等式中， 恒成立的是( A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 ab 1 1 2 b a C. ＋ > D. ＋ ≥2 a b ab a b
)
解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误． 对于 B、C，当 a<0，b<0 时，明显错误． b a ba 对于 D，∵ab>0，∴ ＋ ≥2 · ＝2. a b ab 答案：D
5．已知 a，b，∈(0，＋∞)，若 ab＝1，则 a＋b 的最小值 为________；若 a＋b＝1，则 ab 的最大值为________．
解析：由基本不等式得 a＋b≥2 ab＝2，当且仅当 a＝b＝1 a＋b 1 2 1 时取到等号；ab≤ ＝4，当且仅当 a＝b＝2时取到等号． 2 1 答案：2 4
2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥⑤______( 2ab a，b∈R)． a＋b 2 2 (2)ab≤⑥__________( a，b∈R)． 2 2 a ＋ b a＋b 2 (3) a，b∈R)． 2 ≤⑦__________( 2 b a 2 (4) ＋ ≥⑧______( a· b＞0)． a b a＋b a2＋b2 2 (5) ≤ ab≤ ≤ (a＞0，b＞0)． 1 1 2 2 ＋ a b
二、必明 2●个易误点 1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值； 三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
考向一 利用基本不等式求最值[自主练透型] [例 1] (1) 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( 9 A．9 B. 2 3 2 C．3 D. 2
4 6．若 x>1，则 x＋ 的最小值为________． x －1
4 4 解析：∵x＋ ＝x－1＋ ＋1≥4＋1＝5. x－1 x－1 4 当且仅当 x－1＝ ，即 x＝3 时等号成立． x－1 答案：5
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：①__________. a＞0，b＞0 (2)等号成立的条件：当且仅当②__________ 时取等号． a＝b a＋b 算术平均数 ， ab (3)两个平均数： 称为正数 a， b 的③____________ 2 几何平均数 称为正数 a，b 的④__________.
[悟· 技法] 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、 销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读， 从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在 定义域内时，就不能使用基本不等式求解， 此时可根据变量的范 围用对应函数的单调性求解．
3．已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为( 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 4 3
)
1 1 9 3 解析：由 x(3－3x)＝ ×3x(3－3x)≤ × ＝ ，当且仅当 3x 3 3 4 4 1 ＝3－3x，即 x＝ 时等号成立． 2 答案：B
4．(2017· 兰州一模)在下列各函数中，最小值等于 2 的函数 是( ) 1 A．y＝x＋ x 1 π B．y＝cos x＋ (0<x< ) cos x 2 x2＋3 C．y＝ 2 x ＋2 4 x D．y＝e ＋ x－2 e
1 π 解析：当 x<0 时，y＝x＋ ≤－2，故 A 错误；因为 0<x< ， x 2 1 所以 0<cos x<1， 所以 y＝cos x＋ >2， 故 B 错误； 因为 x2＋2 cos x 1 2 ≥ 2，所以 y＝ x ＋2＋ 2 ≥2 中等号取不到，故 C t;0， 所以 y＝e ＋ x－2≥2 e ·x－2＝2， 当且仅当 e ＝ x， e e e 即 ex＝2 时等号成立，故选 D. 答案：D
(2)(2017· 长春质检)设正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( 1 1 A. ＋ 有最大值 4 a b 1 B. ab有最小值 2 C. a＋ b有最大值 2 2 2 2 D．a ＋b 有最小值 2
)
[解析] 由于 a>0，b>0，由基本不等式得 1＝a＋b≥2 ab， 1 1 1 1 a＋b 当且仅当 a＝b 时，等号成立，∴ ab≤ ，∴ab≤ ， ＋ ＝ 2 4 a b ab 1 1 1 ＝ ≥4，因此 ＋ 的最小值为 4，a2＋b2＝ (a＋b)2－2ab＝1－ ab a b 1 1 2ab≥1－ ＝ ，( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab＝1＋2 ab≤1＋1＝2， 2 2 所以 a＋ b有最大值 2，故选 C. [答案] C
(2)不获利． 设该公司每月获利为 S 元， 则 S＝100x－y＝100x 1 1 2 1 2 －2x －200x＋80 000＝－ x ＋300x－80 000＝－ (x－300)2－ 2 2 35 000，因为 x∈[400,600]， 所以 S∈[－80 000，－40 000]， 故该公司每月不获利．
考向二 基本不等式的实际应用[互动讲练型] [例 2] “节能减排，绿色生态”是当今世界各国所倡导， 某公司在科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把 二氧化碳转化为一种可利用的化工产品． 已知该公司每月的处理 量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 1 2 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝ x －200x＋80 000， 2 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元． (1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理 成本最低？ (2)该公司每月能否获利？