第二十二章量子力学基础知识1924年德布罗意提出物质波概念。

1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。

1927年海森堡提出著名的不确定关系。

海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。

---------------------------------------------------------------------------教学要求：* 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义；* 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；* 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；* 理解不确定关系并作简单的计算；* 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程* 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。

教学内容：§22-1 波粒二象性§22-2 波函数§22-3 不确定关系§22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程）§22-5 一维无限深势阱中的粒子§22-6 势垒隧道效应 *§22-7 谐振子 *教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波;波函数的物理意义及不确定关系。

作业22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、22-17)、22-18)、-------------------------------------------------------------------§22-1 波粒二象性1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。

一 德布罗意假设一切实物粒子都具有波粒二象性（德布罗意按对称性及类比推论提出）。

* 物质波或德布罗意波：其波频率和波长分别为：⎭⎬⎫==p h h E //λν(22-1) 式中：E ——实物粒子的能量 P ——实物粒子的动量 ————德布罗意关系式讨论1）实物粒子波与光的波粒二象性[(21-4)、(21-6)式]完全一致，宏观物体质量大，物质波长极短，难以观测，微观粒子(如电子)，其质量小，物质波长可观测到。

2) (22-1) 式左边为描写“波”的物理量，右边为描写“粒子”的物理量。

3）经电势差U 加速后的电子(初速度忽略不计, 静质量e m )，将获得eU E k =动能，由相对论动量与能量关系：022*********)(E E E E E E E E p c k k k +=-+=-=可得电子动量为：222022121c eUm U e c E E E c p e k k +=+=由德布罗意关系式得波长：2222ceUm U e hc p h e +==λ(22-2)4）如果经电势差U 加速后电子的速率c v <<，可忽略相对论效应，直接由动量eU m E m p e k e 22==得到：nm 225.12U eU m h p h e ===λ (22-3)例22．1 计算电子经过 (1) V 100.16⨯=v ，(2) V 150=U 电压加速后的德布罗意波长。

解 (1) 电子经电场加速后的德布罗意波长可由(22-2)式计算：109785.01(225.12222U c eUm U e hce ⨯+=+=λ代入V 100.16⨯=U ，可得： nm 1071.84-⨯=λ（极短）（电子显微镜加速电子获得波长极短电子波，提高显微镜分辨率）(2) 加速电压为150V 时（忽略相对论效应），采用非相对论波长公式(22-3)得：nm 10.0225.1==Uλ 可知：由加速电压为150V 得动能eV 150=k E 电子的德布罗意波长与X 射线波长同数量级，因此观察电子衍射可采用与X 射线衍射相同方法，例如用晶体作天然光栅实现衍射。

例22.2 计算质量kg 01.0=m ，速率m/s 500=V 的子弹的德布罗意波长。

解： 根据(22-1)式得：m 1033.150001.010626.63434--⨯=⨯⨯===mV h p h λ可见：宏观物体的德布罗意波长小到实验上难以观测，仅表现出粒子性。

二 物质波的实验验证1、电子衍射实验（戴维逊和革末，1927年）热阴极K发出电子，过狭缝D成很细电子射线束，以掠射角φ投射镍单晶M上，集电器B收集反射电子，电流计G测电子流强度I。

保持掠射角φ不变，改变加速电压U大小测量出不同电流强度I，I~曲线如图所示。

绘制U实验表明：随加速电压U增加，当电压取某些特定值时，电流呈现峰值，显示规律性（与X射线在晶体上衍射规律极为相似）。

理论计算：按德布罗意波长公式：nm 225.1Up h ==λ （忽略相对论效应）及电子波λ， φ及晶格常数d 的布拉格公式：λφk d =sin 2 （ k = 1,2,3,……. ）有：U k d /225.1sin 2=φ得电流峰值处对应的电压为：φsin 2/225.1d k U ⨯=实验结果与理论预期值符合相当好 （实验还测量电子波长与德布罗意关系式计算一致）2、 电子衍射实验（汤姆逊，1927年，英国），高能电子束穿过多晶薄膜，照相底片上得到电子衍射环状图样。

3、电子的单缝、双缝和多缝衍射实验（约恩逊，1961年）图为电子双缝衍射实验明暗衍射条纹，直接表现电子的波动性。

* 对质子、中子及原子、分子等的有关实验：证实波动性，其波长也都和德布罗意关系相符合。

三、物质波的统计诠释——概率波粒子概念和波动概念代表仅有两种可能的不同的能量输送方式。

经典波动代表某物理量周期性变化，可产生干涉、衍射现象。

而粒子为颗粒性，其空间广延性却等于零，并在确定轨道上运行。

（性质如此迥异的两概念如何互相联系统一到同一个客体上？）1、概率波概念（波恩）（电子的双缝衍射实验说明这种波动性的意义）两种实验方法：1）射向双缝电子流强度很大，屏上出现衍射图样（图f）--------电子波动性；2）控制电子流，电子一个个发射到屏，一个个感光点（图a、b）----电子粒子性；实验发现：1）当到达屏电子数少，感光点分布无规则，随机性大。

但电子数目不断增多，落点位置分布逐渐显出一定规律性，数目越多，规律性明显，（图c~f）。

2）电子分布最集中地方正好是衍射明纹中心的位置，电子分布几乎为零的地方正好是衍射暗纹中心的位置。

2）在实验条件相同下，不管开始时电子落点分布多么不规则，最终大量电子落点形成衍射图样都一样。

（大量电子不规则落点的群体行为遵从统计规律）2、波恩统计观点解释：衍射明纹地方，到达电子多，电子在这些地方出现概率大；衍射暗纹地方，到达电子少，电子在这些地方出现概率小，衍射条纹明暗分布与到达该处电子数目成正比，实物粒子的波动性是一种统计行为，实物粒子波是概率波。

（波恩统计解释不仅对电子波适用，其它微观粒子波动性也如此）* 注意：1）物质波不是指微观粒子以波形式在空间运动，而是指粒子在空间各处出现的概率分布服从波的规律。

2）物质波是概率波的统计解释，不意味必须有大量粒子存在时才具有波动性，容易误解为波动性是粒子间相互作用的结果。

3）单个电子具有波动性，电子自身与自身干涉形成衍射图样。

波动性是微观粒子自身具有的特性。

4）在量子力学的概念中实物粒子波与经典波有明显区别。

实物粒子波不代表描述粒子某一物理量在时空中周期性变化，5）粒子在空间各处出现的概念分布呈现的波动表现——概率波，保留波具有迭加性，不是经典波，是量子波。

6）实物粒子不是经典粒子，经典粒子在运动过程中有确定的轨道，实物粒子具有波动性，没有明确轨道概念，只是一颗量子粒子。

量子粒子与量子波是统一的。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------§22-2 波函数（实物粒子具有波动性，其运动状态由概率波描述）* 波函数：概率波的数学表达式。

波函数通常以ψ表示（一般是空间和时间的函数）：ψψ)t(r,（不同的粒子，在不同的作用条件下，波函数的具体形式不同）1、粒子一维自由运动的波函数：设：自由粒子沿x轴正方向运动，能量E和动量p恒定。

按照德布罗意关系：德布罗意波长p h =λ德布罗意频率h E =ν （保持不变）在波动理论中频率和波长恒定波为单色平面波（一无限长的波列），有：)(2cos λνπx t A y -=也可表示成复指数函数形式：)(2λνπx t i Ae y --=将波长和频率代入上式，并以ψ表示波函数，0ψ表示波函数振幅，可得：)(0)(20)(20xp Et i xp Et h i h xp t h E i e ee------===ηψψψψππ（在一般情况下，表示实物粒子运动的波函数用复函数形式）2、实物粒子波的强度：用波函数描述概率波是体现粒子在空间各处出现概率大小。

（以电子双缝衍射为例理解两理论解释间关系）（由此可知粒子(电子)在某处出现概率大小正比于该处粒子(电子)波强度） 可将实物粒子波的强度表示为：*2ψψψ⋅=（波函数模的平方，*ψ为波函数ψ的复共轭函数）3、 概率密度函数：考虑空间某点(x ，y ，z )附近的一个小体积元dV ，若粒子出现在dV 内的概率用ρd 表示，ρd 正比于该处粒子波的强度，即正比于波函数模的平方：dV d 2ψ∝ρ（如果将比例常数包含在波函数ψ中）则概率密度——粒子出现在单位体积中概率为：*2ψψψ⋅===dVd ρρ (22-4)—— 概率密度函数（波函数模平方等于波函数描述粒子在t 时刻出现在空间(x ，y ，z )处的概率密度） 注意：1）波函数意义：波函数在经典物理中没有相对应力学量，也不具可观察测量的直接物理意义， 波函数意义体现在波函数模的平方上，给出了粒子出现的概率密度，并以概率的形式提供有关粒子运动的全部信息，所以：波函数又称为概率幅，其平方等于概率密度。

2）波函数的标准化条件：波函数必须保证粒子在任一时刻任一空间范围内出现的概率具有唯一性，并且不应在某处发生突变和变得无限大， 这要求波函数满足单值，连续，有限的条件——波函数的标准化条件。

3）波函数的归一化条件：任一时刻粒子在整个空间出现的总概率应该等于1，12=⎰dV V ψ(22-5) —— 波函数的归一化条件------------------------------------------------------------------------------------------------------------例22．3 求沿x 轴运动的自由粒子的概率密度函数。