箱中各处粒子的概率 箱内所有位置都一样 密度不均匀，现波形 y可为正、负，也可 存在节点很难想象 为0，节点
求解结果讨论
The properties of the solutions • The particle can exist in many states, y1, y2,... yn • Quantization energy • The existence of zero-point energy. minimum energy (h2/8ml2) • There is no trajectory but only probability distribution • The presence of nodes
n 1,2,3,...
这里得到许多y和许多E，我们用量子数n来标志它，每个 Ψn代表可能存在的一种状态，En 代表Ψn状态下的能量。
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
n 1,2,3,...
n 1 n2 n3 ...
n2h2 E 8m l2 2 n y sin x l l
h2 E1 8m l2 4h 2 E2 8m l2 9h 2 E3 8m l2 ...
c1 1 c2 0 0
c1 0,
c2 0
c2 0
y c2 sin x
x=l: y (l ) c2 sin l 0
l n
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
l n
n l
n 波函数： y c2 sin x l
2 2 8 2 m E n 2 2 2 h l n2h2 n 1,2,3,... E 2 8m l
这表明箱中粒子的px2有确定的值：n2h2/4l2
1 2 1 n2h2 n2h2 E T V T px 2 2m 2m 4l 8m l2
The general steps in the quantum mechanical treatment:
a. Obtain the potential energy functions followed by deriving the Hamiltonian operator and Schrö dinger equation. b. Solve the Schrö dinger equation. (obtain yn and En) c. Study the characteristics of the distributions of yn. d. Deduce the values of the various physical quantities of each corresponding state.
p x 2 l nx ih d nx sin sin dx 0 l l 2 dx l ih l nx nx sin d sin l 0 l l 2 nx sin ih l 0 l 2 x 0
ˆx x ˆy n cy n x
无本征值！
求平均值
2 l nx nx l x sin x sin dx l 0 l l 2
2 l 2 n x n x l x 2 sin x 2 sin dx l 0 l l 3
一维势箱体系的各种物理量
（2）粒子的动量沿x方向的分量px： Y也不是动量算符的本征函数: 求平均值

n 1,2,3,...
正交：
y
0
l
n
( x) y m ( x)dx
l
0
2 nx 2 mx sin sin dx 0 l l l l
1 sin a sin b [cos( a b) cos( a b)] 2

归一： 之前的推导过程中已引入了归一化条件
一维势箱体系的各种物理量
隧道效应 Quantum tunnelling
• 隧道效应的应用-扫描隧道显微镜 • STM(scanning tunneling microscopy)
隧道效应 Quantum tunnelling
• 隧道效应的应用-扫描隧道显微镜 • STM(scanning tunneling microscopy)

求一微观体系某状态时某 物理量的平均值：
• If the wave function is an eigenfunction of Â：
a


ˆ y * Ay d y * ay d
a y *y d a


一维势箱体系的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置： 坐标位置的算符:
假设Ⅳ ：态迭加原理
• 假设Ⅳ：如果y1, y2, ...,yn是一个微观体系的可能 状态，那么它们线性组合所得的状态y也是该体系 可能存在的状态。
y c1y 1 c2y 2 ... cny n ciy i
i
• c1,c2, ..., cn为任意常数，称为线性组合系数
本征态物理量的平均值
V

0, ,
0 xl x0 和 xl
把粒子限制在区域Ⅱ中运动，其中V=0
在，区域中，粒子不会出现，概率为0，y为0
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
Hamilton算符：
2 2 h d ˆ ˆ H V 8 2 m dx2
在，区域中，V∞
d 2y 2 Vy Ey 2 8 m dx 2y 8 2 m 2 Vy 0 2 x h h2
2 c2 l
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
n 波函数： y c2 sin x l
2 c2 l
2 n y sin x l l
n 1,2,3,...
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
综上所述，一维势箱的波函数和能级公式如下：
x≤0, x≥l 0 < x<l
yx 0
n2h2 E 8m l2 2 n y sin x l l
d 2y 2 y 0 2 dx
二阶齐次方程
y c1 cosx c2 sin x
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
y c1 cosx c2 sin x
品优波函数的连续性和单值条件:
y (0) 0,
y (l ) 0
x=0: y (0) c cos0 c sin 0 1 2
• 如果y不是物理量A算符Â的本状态，物理量A的平 均值为
ˆyd a y A
*
1.3 量子力学的简单应用
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
• 举例说明如何用量子力学的原理、方法和 步骤来处理微观体系的运动状态及相关物 理量
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
• 一维势箱中粒子： • 一质量为m，在一维方向 上运动的粒子，受如图所 示势能限制。
例2：花菁染料的吸收光谱
• 通式为： • 总电子： 2m+4 • 基态时，这些电子占据 m+2 个分子轨道 • 吸收适当波长的光，可发生电子从最高占 据轨道（m+2）向最低空轨道（m+3）的 跃迁
2 h2 h 2 2 E ( m 3 ) ( m 2 ) (2m 5) 2 2 8m l 8m l
• 如果y1, y2, ...,yn是对应的本证值分别为a1, a2, ...,an 当体系处于y并且已经归一化，物理量A的平均值为
* * ˆ 2 ˆ a y A yd ( ciy i )A( ciy i ) | ci | ai * i i i
非本征态物理量的平均值
2y h2 y 2 2 0 x 8 m V
(V ) V E V
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
在区域中， V0 • 薛定谔方程为：
d 2y 2 Ey 2 8 m dx h2
d 2y 8 2 m E y 0 2 2 dx h
设
8 2 m E 2 h2
例1：丁二烯的离域效应

离域效应：粒子活动范围扩大，能量降低的效应
• 丁二烯有4个C原子， • 4个电子形成， 两个定域键

一个44离域键
h2 E 2 2 4 E1 2 8m l
h2 22 h 2 10 E 2 2 E1 2 2 8m(3l ) 8m(3l ) 9
求解结果讨论
（2）零点能效应

能量最低的状态为基态（n=1） 基态能量为零点能
2
h E1 2 8m l
求解结果讨论
（3）波函数与几率密度
• 粒子没有运动轨道只有几率分布，y可为正、负，也可为0， 这样的点为节点，数目为n-1
求解结果讨论
• 经典力学与量子力学模型比较 经典力学 量子力学 粒子任意运动，速度、 能量不能任意，量子 速度，能量 动能和能量为任意非 化 负值，能量连续 能量最小值 箱中分布 节点 0 h2/8ml2, 零点能，基 态
隧道效应 Quantum tunnelling
• 隧道效应由微观粒子波动 性所确定的量子效应。 • 考虑粒子运动遇到一个高 于粒子能量的势垒，按照 经典力学，粒子是不可能 越过势垒的； • 按照量子力学可以解出除 了在势垒处的反射外，还 有透过势垒的波函数，这 表明在势垒的另一边，粒 子具有一定的概率，粒子 贯穿势垒。
n 1 n2 h2 E1 8m l2
y1 y2
2 x sin l l
量子效应
4h 2 E2 8m l2 9h 2 E3 8m l2 ...
2 2x siin l l ...
求解结果讨论
2 n sin x 波函数： y l l
隧道效应 Quantum tunnelling
隧道效应 Quantum tunnelling