2020年湖北省中考数学模拟试卷9解析版一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别．从袋子中随机取出1个球，则（）A．能够事先确定取出球的颜色B．取到红球的可能性更大C．取到红球和取到绿球的可能性一样大D．取到绿球的可能性更大4．如图，弦AB和CD相交于点P，∠B＝30°，∠APD＝80°，则∠A等于（）A．30°B．50°C．70°D．100°5．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是（﹣1，0）6．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个不相等的实数根，且两实数根和为17．把抛物线y＝2（x﹣3）2+k向下平移1个单位长度后经过点（2，3），则k的值是（）A．2B．1C．0D．﹣18．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，以点C为圆心5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定9．抛物线y＝x2+2x﹣3的最小值是（）A．3B．﹣3C．4D．﹣410．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O在AB上，且OB＝1，点P是BC上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OQ．要使点Q恰好落在AD上，则BP的长是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），C（﹣1，1）．写出各点关于原点的对称点的坐标，，．12．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是．13．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有人．14．一个正n边形的中心角等于18°，那么n＝．15．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为．16．如图，已知直线AB：y＝kx+2k+2与抛物线y＝x2交于点A、B，当∠AOB＞90°，则k的取值范围为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）用公式法解方程：x2﹣x﹣2＝0．18．（8分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OF∥AC交AB于点E．（1）求证：＝；（2）若AB＝6，EF＝3．求半径OB的长．19．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．（1）小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）（2）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．20．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF 的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C ＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD＝4，CA＝6，①求CB的长；②求DF的长．22．（10分）某商家按市场价格10元/千克在该市收购了1800千克产品，经市场调查：产品的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但仓库存放这批产品时每天需要支出各种费用合计240元，同时平均每天有6千克的产品损耗不能出售（产品在库中最多保存90天）（1）设存放x天后销售，则这批产品出售的数量为千克，这批产品出售价为元；（2）商家想获得利润22500元，需将这批产品存放多少天后出售？（3）商家将这批产品存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？23．（10分）如图，在Rt△ABO中，∠BAO＝90°，AO＝AB，BO＝8，点A的坐标（﹣8，0），点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动，运动时间为t秒，连接BC，过点A 作AD⊥BC，垂足为点E，分别交BO于点F，交y轴于点D．（1）用t表示点D的坐标；（2）如图1，连接CF，当t＝2时，求证：∠FCO＝∠BCA；（3）如图2，当BC平分∠ABO时，求t的值．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】直接把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得到关于a的方程，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得1﹣3+a＝0，解得a＝2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．3．【分析】根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项．【解答】解：∵不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别，∴绿球数量大于红球数量，其摸球具有随机性，∴摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性，故选：D．【点评】此题考查了可能性的大小的知识，哪种球的数量大，摸到这种球的可能性就大．4．【分析】根据对顶角相等可得∠BPC＝∠APD＝80°，而∠B＝30，再结合三角形内角和定理可求∠C，根据同弧所对的圆周角相等易求∠C．【解答】解：如右图，∵∠BPC＝∠APD＝80°，∠B＝30，∴∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠A＝∠C＝70°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、对顶角相等、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠C．5．【分析】由二次函数y＝（x+1）2，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；对每个选项分析、判断即可；【解答】解：A、由二次函数二次函数y＝（x+1）2中a＝＞0，则抛物线开口向上；故本项错误；B、当x＝0时，y＝，则抛物线不过原点；故本项错误；C、由二次函数y＝（x+1）2得，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，对称轴右侧的图象上升；故本项错误；D、由二次函数y＝（x+1）2得，顶点为（﹣1，0）；故本项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．6．【分析】求出△的值即可判断．【解答】解：一元二次方程x2﹣x+1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×1＜0，∴原方程无解．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．【分析】把点坐标代入y＝2（x﹣3）2+k﹣1解方程即可得到结论．【解答】解：设抛物线y＝2（x﹣3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y＝2（x﹣3）2+k ﹣1，把点（2，3）代入y＝2（x﹣3）2+k﹣1得，3＝2（2﹣3）2+k﹣1，∴k＝2，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．8．【分析】判断圆与直线AB边的位置关系，关键是比较点C到直线AB的距离与半径的大小关系．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D，∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，由勾股定理，得AB＝＝10，根据三角形计算面积的方法可知，BC×AC＝AB×CD，∴CD＝＝4.8＜5，∴⊙C与直线AB相交．故选：A．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．9．【分析】利用配方法或顶点坐标公式即可解决问题；【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵a＝1＞0，∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣4．故选：D．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握配方法或公式法确定顶点坐标，属于中考常考题型．10．【分析】当点Q在AD上时，由OP⊥OQ，利用互余关系可证△OBP≌△QAO，可得BP＝AO ＝AB﹣OB，可求BP的长．【解答】解：根据旋转的性质可知，OP＝OQ，∠POQ＝90°，∴∠BOP+∠AOQ＝90°，又∠BOP+∠BPO＝90°，∴∠BPO＝∠AOQ，而∠B＝∠A＝90°，∴△OBP≌△QAO，∴BP＝AO＝AB﹣OB＝4﹣1＝3．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质．关键是根据线段的旋转证明全等三角形，利用线段相等将问题进行转化．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），从而可得出各点关于原点的对称点的坐标．【解答】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，∴A（﹣3，5）关于原点对称的点的坐标为：（3，﹣5）；B（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标为（4，﹣3），C（﹣1，1）关于原点对称的点的坐标为（1，﹣1）．故答案为：（3，﹣5）、（4，﹣3）、（1，﹣1）．【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，属于基础题，解答本题的关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，难度一般．12．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次都摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．13．【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据经过两轮传染后共有121人感染了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），∴2（1+x）＝22．故答案为：22．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可．【解答】解：n＝＝20，故答案为：20．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．15．【分析】分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO＝135°，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'C＝90°，最后用弧长公式即可得出结论．【解答】解：∵△OPE的内心为M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE），∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，∴∠PMO＝180°﹣（∠EOP+∠OPE）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，如图，∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，∴△OPM≌△OCM（SAS），∴∠CMO＝∠PMO＝135°，所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，在优弧CO取点D，连DA，DO，∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，∴O′O＝OC＝×2＝，∴弧OMC的长＝＝π（cm），同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，所以内心M所经过的路径长为2×π＝πcm．故答案为：πcm．【点评】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．16．【分析】将y＝kx+2k+2代入y＝x2，得x2﹣kx﹣2k﹣2＝0，根据二次函数图象上点的坐标特征以及根与系数的关系得出y1＝x12，y2＝x22，x1•x2＝﹣2k﹣2，那么y1•y2＝4k2+8k+4当∠AOB＝90°时，如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．证明△AOM∽△OBN，根据相似三角形对应边成比例得出y1•y2＝﹣x1•x2，依此列出关于k的方程，求出k的值，进而得出当∠AOB＞90°时，k的取值范围．【解答】解：将y＝kx+2k+2代入y＝x2，得x2﹣kx﹣2k﹣2＝0，∵y＝kx+2k+2与抛物线y＝x2相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1＝x12，y2＝x22，x1•x2＝﹣2k﹣2，∴y1•y2＝（x12）•（x22）＝（﹣2k﹣2）2＝4k2+8k+4当∠AOB＝90°时，如图：，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．在△AOM与△OBN中，，∴△AOM∽△OBN，∴＝，即＝，∴y1•y2＝﹣x1•x2，∴4k2+8k+4＝2k+2，∵k＜0，∴k＝﹣，∴当∠AOB＞90°时，k＜﹣．故答案为：k＜﹣．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用相似三角形的性质得出y1•y2＝﹣x1•x2是解题关键．三．解答题（共8小题，满分72分）17．【分析】套用求根公式计算可得．【解答】解：∵a＝1、b＝﹣1、c＝﹣2，∴△＝1﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴x＝＝，即x＝﹣1或x＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18．【分析】（1）利用平行线的性质证明OF⊥AB即可；（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠A＝90°，∵OF∥AC，∴∠OEB＝∠A＝90°，∴OF⊥AB，∴＝．（2）解：设OB＝r，∵OF⊥AB，∴，在Rt△OBE中，∵OB2＝OE2+EB2，∴r2＝（r﹣3）2+（3）2，∴r＝6，即OB＝6．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小红和小亮诵读两个不同材料的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）小红诵读《论语》的概率＝；故答案为．（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小红和小亮诵读两个不同材料的结果数为6，所以小红和小亮诵读两个不同材料的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20．【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC ＝∠ACG；（2）结论：AC2＝AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，＝，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．△AGH∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴＝＝，∴AE＝AB＝．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴＝＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，∴x+x＝4，∴m＝4（﹣1），∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB＝∠EAD，由于∠ACB＝2∠EAB，则∠ACB＝∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠DAC+∠ACB ＝90°，所以∠DAC+∠DAB＝90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）①在Rt△ABC中，根据cos C＝＝＝，可得AC＝6；②作FH⊥AB于H，由BD＝BC﹣CD＝5，∠EAB＝∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，推出FD＝FH，设FB＝x，则DF＝FH＝5﹣x，根据cos∠BFH＝cos∠C＝＝，构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：连结AD，如图，∵E是的中点，∴＝＝，∴∠EAB＝∠EAD，∵∠ACB＝2∠EAB，∴∠ACB＝∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线；（2）①在Rt△ACB中，∵cos C＝＝＝，AC＝6，∴BC＝9．②作FH⊥AB于H，∵BD＝BC﹣CD＝5，∠EAB＝∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，∴FD＝FH，设FB＝x，则DF＝FH＝5﹣x，∵FH∥AC，∴∠HFB＝∠C，在Rt△BFH中，∵cos∠BFH＝cos∠C＝＝，∴＝，解得x＝3，即BF的长为3，∴DF＝2【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．22．【分析】（1）根据“销售价格＝市场价格+0.5×存放天数，销售数量＝原购入量﹣6×存放天数”列出代数式即可；（2）按照等量关系“利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用”列出函数方程求解即可；（3）根据等量关系“利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用”列出函数关系式并求最大值．【解答】解：（1）存放x天后销售价格为：10+0.5x；销售数量为：1800﹣6x；故答案为：（10+0.5x），（1800﹣6x）；（2）由题意y与x之间的函数关系式为y＝（10+0.5x）（1800﹣6x）＝﹣3x2+840x+18000（1≤x ≤90，且x为整数）；﹣3x2+840x+18000﹣10×1800﹣240x＝22500解方程得：x1＝50，x2＝150（不合题意，舍去）故需将这批产品存放50天后出售；（3）设利润为w，由题意得w＝﹣3x2+840x+18000﹣10×1800﹣240x＝﹣3（x﹣100）2+30000∵a＝﹣3＜0，∴抛物线开口方向向下，＝29700，∴x＝90时，w最大∴商家将这批产品存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是29700元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，根据函数关系式求出以及最值公式求出是解题关键．23．【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△OAD即可解决问题；（2）由△FOD≌△FOC（SAS），推出∠FCO＝∠FDC，由△ABC≌△OAD，推出∠ACB＝∠ADO，可得∠FCO＝∠ACB；（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝KC＝m，则CK＝m．构建方程求出m的值即可解决问题；【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，∴∠ABC＝∠OAD，∴∠ABC＝∠OAD，∵AB＝OA，∴△ABC≌△OAD（ASA），∴OD＝AC＝2t，∴D（0，2t）．故答案为（0，2t）（2）如图1中，∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝8，∴AB＝AO＝8，∵t＝2，∴AC＝OD＝4，∴OC＝OD＝4，∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，∴△FOD≌△FOC（SAS），∴∠FCO＝∠FDC，∵△ABC≌△OAD，∴∠ACB＝∠ADO，∴∠FCO＝∠ACB．（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝m．∵CB 平分∠ABO ，∴∠ABC ＝22.5°，∵∠AKC ＝45°＝∠ABC +∠KCB ，∴∠KBC ＝∠KCB ＝22.5°，∴KB ＝KC ＝m ， ∴m +m ＝8，∴m ＝8（﹣1），∴t ＝＝4（﹣1）． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．24．【分析】（1）由y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A （﹣1，0），C （0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先令﹣x 2+2x +3＝0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′，由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P （a ，3﹣a ），即可得D （a ，﹣a 2+2a +3），即可求得PD 的长，由S △BDC ＝S △PDC +S △PDB ，即可得S △BDC ＝﹣（a ﹣）2+，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m ＝（n ﹣）2﹣，然后根据n 的取值得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）令﹣x 2+2x +3＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝3，即B （3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′，∴， 解得：，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，设P （a ，3﹣a ），则D （a ，﹣a 2+2a +3），∴PD ＝（﹣a 2+2a +3）﹣（3﹣a ）＝﹣a 2+3a ，∴S △BDC ＝S △PDC +S △PDB＝PD •a +PD •（3﹣a ）＝PD •3＝（﹣a 2+3a ）＝﹣（a ﹣）2+，∴当a ＝时，△BDC 的面积最大，此时P （，）；（3）由（1），y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴E （1，4），设N （1，n ），则0≤n ≤4，取CM 的中点Q （，），∵∠MNC ＝90°，∴NQ ＝CM ，∴4NQ 2＝CM 2，∵NQ 2＝（1﹣）2+（n ﹣）2，∴4[＝（1﹣）2+（n ﹣）2]＝m 2+9，整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，∵0≤n≤4，当n＝上，M最小值＝﹣，n＝4时，M最小值＝5，综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．。