非线性振动系统及混沌的基本概念
概述：混沌的发现 ●非线性系统的运动现象 ●蝴蝶效应 1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德 华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计 算机速度约每秒做6次乘法。 经简化后的洛仑兹气象模型为
( y x) x (r z ) x y y z xy bz
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。 他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
2
●蝴蝶效应
洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）
3
非线性振动系统及混沌的基本概念 一、任意摆角情况下单摆的运动
x
(a)
t
v v
x
(c)
(d)
v
x
(b)
x
●混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。
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初值悬殊的 三个吸引子
x
t
v v v
结论 ◐混沌行为具有 极为敏感的初值 依赖性；
x
x
x
◐然而混沌的全局特征——混沌吸引子却具有不依 赖于初值的、确定的规则。 ●貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确 定的规律---混沌运动的内在规律性。 ◐这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。
2

O

◐简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原， ) 所以相轨线 ( 为一闭合曲线。
9
3. 自治系统与非自治系统
●不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显含 时间 t 的动力学方程称为非自治系统。
◐由线性单摆 方程可得
（角谐振动）
不显含 t ，在二维相 2 空间中为自治系统。
讨论 运动的演变 1. 线性近似下的单摆运动
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2
令 =0，退化为线性方程
三种情况： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相 应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。 ◐简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
◐阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最 终停止于中点---不动点吸引子--- 。 ◐受迫振动：经过暂 态之后趋于一稳定的 闭合圈---周期吸引子 或极限环。
(a)
v
v
v
x x
(d)
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x
(b) (c)
混沌的内在规律性----混沌吸引子 图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的彭加勒 截面图 [(c) 和 (d)] 却又是完全相同的。把混沌的相轨 线在彭加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子。
◎混沌吸引子是非 线性耗散系统混沌 的特征，表明耗散 系统演化的归宿。 ◐代表混沌行为的 全局特征。
周期三窗口
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1
框内部分放大得下页图
25
2
框内再放大得下页图
26
3
27
2
1 3 混沌内部的自相似结构
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b. 自相似结构
看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结 构。 ◐任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与 整体完全相似的规律。 ●在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结 构称为自相似性。 ◎从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是 整数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。
从周期运动到倍周期分岔 ◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
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◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异： a. x0=1，0=0； b. x0=1.001，0=0.001. 结论： ●初始条件的微小差别对周期性运动不产生影响， 或者说周期运动对初值不敏感。 混沌运动 继续增大 f，当 =1.3，随机性运动取代了周期性运动， 表明系统已进入混沌状态。 18
g F sin cos t m l ml
10
◐由受阻力 和周期策动 力作用的非 线性单摆方 程可得
显含 t ，在二维相空间中为非自治系统。
引入新变量 = t ，可将方程化为三维相空间中的 自治系统：
g F sin cos m l ml


相轨线






相轨线
12
2n
2
三维相空间
2(n 1)
2n
环形相空间
●相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为 彭加勒截面图。 ◐通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布 规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程 中系统的运动规律。


相轨线
= 2.5029078750958928
例如，图中
an lim = n a n 1
注意：当不满足 n ，则比值只是近似的。
注意：常数 并不只限于单摆公式，而是对所有同 一类的变换，所得的 值都精确地相同。 ● 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与 各个系统的其他具体细节无关。 ●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性. ●是混沌内在规律性的另一个侧面反映。
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费根鲍姆常数
标度因子 在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各 对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分 岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常 数 ，称为标度因子或普适常数:
混沌带的合并 --从逆着混沌演化的方向，可找到混沌 带合并的规律：
2n 16 8 4 2 1 0
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c. 普适性 若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参 数记为n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之 比趋于同一个常数：
n n1 lim 4.66920160910299067 n n 1 n
6
类似地，当令0=0， 2 4 g ，则解为 0
0 cos

2
l
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。 ◐ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。 结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
m
4
若 为任意值， (sin ) 而 sin(1 2 ) sin 1 sin 2
A
故自由单摆为非线性振动系统：
O
令
d ，以及 t 0, 0 , 0 ， dt
d g sin 2 dt l
2

N
l
m
则上式变为
2g 2 2 2cos 1 cos 0 0 l 2
注意：图 (a) 中的两条运动曲线的初值分别为 x0=1 ， 0= 0和 x0=1.00001，0=0.00001。误差仅在小数点 后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓“差之 毫厘，失之千里”。
●处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感， 称这一特性为混沌的初值敏感性。 x ---蝴蝶效应--运动的随机性 t ●相图(b)反映出混 沌运动的随机性。 即相轨道(运动状态) 完全不可预测。






相轨线
2n
2
三维相空间
2(n 1)
2n
环形相空间
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讨论：
●单周期振动，每隔2运动状态复原， 即相轨线每次都从同一点穿过彭加勒截 面，◐在彭加勒截面图上只有一个不动 点； ●倍周期的运动，彭加勒截面图上有 两个不动点； …。 ●运动无周期性，则彭加勒截面图上有无穷多个点。
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三、混沌的基本概念
1. 混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出 来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的 运动的不可预测性。 2. 相图 ●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。 例：自由单摆（简谐振动）
d 2 0 2 dt Asin t A cos t ,
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二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ◐支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ◐然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
线性系统（数学定义）： 若 f ( x ) 满足 f ( x1 x2 )
f ( x1 ) f ( x2 ) 则 f ( x) 是线性的； 若 g ( x) 为非线性，则 A g ( x1 x2 ) g ( x1 ) g ( x2 )
◐自由单摆的运动方程：
O d 2 g 当 很小， sin l 2 dt l 2 N d g 线性近似： (sin ) 2 dt l 按级数展开，取第一项而得.
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d 2x dx x f cos t 2 dt dt
2. 非线性近似下的单摆运动 混沌
d 2x dx 3 x x f cos t 2 dt dt
◐方程代表复杂的非线性振动系统。 为简化问题，在四个参数中只改变 f 的值。
数值模拟发现，随着 f 的逐渐增大，该振动系统产 生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进 入混沌的演化过程。
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四、单摆与混沌
d 2x dx 单摆方程 ml l mg sin x F cos t 2 dt dt 1 按泰勒级数 sin x x x 3 取前两项近似， 6