数列复习课（3）———常见递推数列通项公式的求法主备人：刘莉苹 组长：李英 时间：2013-9-16教学目标：1.通过求出数列前几项，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程.教学重点：处理递推关系的基本方法.教学难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助 问题生成引入新课： 由递推公式求数列的通项公式的类型：（1） （2） （3） （4）()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数）（5）n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
（6）递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n nn s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩ （7）rn n pa a =+1)0,0(>>n a p（8）)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+（9）周期型思考：各类型通项公式的求法？合作探究 问题解决 类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求1()n n a a f n +=+1()n n a a f n +=⋅1(0,1)n n a pa q p p +=+≠≠变式:1. 已知数列{}n a 满足211=a ，112n n a a +=+，求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =，112nn n b b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
变式：1. 已知31=a ，132n n a a +=，求n a 。
2.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
3.在数列{}n a 中, n a >0,221112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例3．已知数列{}n a 中，11a =-，123n n a a +=-+，求n a .变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________类型4 ()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数）若()f n 为n 的一次函数,则n a 加上关于n 的一次函数构成一个等比数列; 若()f n 为n 的二次函数, 则n a 加上关于n 的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.若()f n 为n 的指数幂形式，此类数列可变形为()111++++=n n n n n p n f p a p a ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n p a 可用累加法求出，由此求得n a .例4 （1）已知数列{}n a 满足1111,2,21,.2n n n a n a a n a -=≥=+-当时求（2）已知数列{}n a 满足1111,22n n n a a a ++==+,求n a .变式:1.已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
2.已知数列{}n a ，n S 表示其前n 项和，若满足231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式。
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q st pt s例5．已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；变式: 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
例6．已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .变式:1. {}n a 的前n 项和221n s n =-,求通项n a .2.（2006，陕西,理,20)已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n类型7 rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。
例7．已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a类型8 )()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。
例8．已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。
变式:数列{}n a 中，11113,33n nn n na a a a +++⋅==+，求{}n a 的通项。
类型9 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例9．若数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。
变式。
已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23拓展训练 巩固提高1．已知数列{}n a 中， 11a =， 12n n a a +=+ ().n N *∈求数列{}n a 的通项公式.2．已知数列{}n a 中, 11,2a =113n n n a a +=+*(),n N ∈求数列{}n a 的通项公式.3．已知数列{}n a 中，11,2a =121n n a a n n+=++， *(),n N ∈求数列{}n a 的通项公式.4．已知数列{}n a 中13,a =13n n a a +=*().n N ∈求数列{}n a 的通项公式.5．已知数列{}n a 满足11,a =12n n n a a +=*(),n N ∈求数列{}n a 的通项公式.6．已知数列{}n a 中，13,2a =*133(),n n a a n N +=+∈求数列{}n a 的通项公式. 7. 已知数列{}n a 中，11,a =*133(),n n n a a n N +=+∈求数列{}n a 的通项公式.8．已知数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，*(),n N ∈求数列{}n a 的通项公式.9. 数列{}n a 中，,3,221==a a 且()2,211≥∈+=++-n N n a a a n n n ，求n a 10.已知数列{}n a 满足1122,2nn n a a a a +==+,求n a . 11.数列{}n a 中，11112,22n nn n na a a a +++⋅==+，求{}n a 的通项。
12.已知下列两数列{}n a 的前n 项和n s 的公式，求{}n a 的通项公式。
（1）21n s n =- （2）223n s n n =-。