如果对于任何实数 a，b (a<b)，随机变量 X 满
足 P(a<X≤b)＝ʃbaφμ，σ(x)dx，则称 X 的分布为
正态分布，记作 N(u，σ2)
.
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826
；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544
；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974
.
题型 服从正态分布的概率计算 例 1 设 X～N(1,22)，试求
(1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)．
解 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ) ＝0.682 6.
(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1) ∴P(3<X≤5)＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
正态分布的概率计算
§12.7 正态分布
基础知识 自主学习
要点梳理
1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数 φμ，σ(x)＝
1 2πσe
- x u 2
2 2
，
x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ
(σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的 图象(如图)为正态分布密度曲线，
简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝ μ 对称； ③曲线在 x＝ μ 处达到峰值 1 ；
3．设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若 P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则 c B等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数 图象关于 x＝2 对称，于是c＋1＋2 c－1＝2， ∴c＝2.
4．已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2，σ2)， P(ξ≤4)＝0.84，则 P(ξ≤0)等于( A ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， ∴P(X≥5)＝12[1－P(－3<X≤5)] ＝12[1－P(1－4<X≤1＋4)] ＝12[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.
探究提高 求服从正态分布的随机变量在某个区 间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所 求问题转化为已知概率的三个区间上．
σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1 ； ⑤当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x
轴平移，如图甲所示；
⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，
越小
σHale Waihona Puke ，曲线越“瘦高”，表示总体的分
布越集中；σ 越大 ，曲线越“矮胖”，表
示总体的分布越分散，如图乙所示．
2. 正态分布
(1)正态分布的定义及表示
变式训练 2 (2010·山东)已知随机变量 ξ 服从正态分 布 N(0，σ2)，若 P(ξ>2)＝0.023，则 P(－2≤ξ≤2) 等于( C ) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
解析 由 ξ～N(0，σ2)，且 P(ξ>2)＝0.023，知 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.
解析 由正态分布的特征得 P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.