立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题1.直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面a内的 ____________ 都垂直，就说直线丨与平面a互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线和平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.二、平面与平面垂直1.平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言付号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【典例探究】 类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥A BPC 中，APPC, ACBC, M 为AB 中点，D 为PB中点，且△ PMB 为正三角形。

(I)求证： DM //平面 APC ；(U)求证：平面 ABC 平面APC ；(川)若BC 4，AB 20，求三棱锥 D BCM 的体积。

例2.如图，已知三棱柱 ABC A ,BQ 中，AA ,底面ABC ，AC BC 2，AA , 4， AB 22，M占八、、・(I)求证：CN 平面ABB iA ； (U)求证：CN // 平面 AMB ,；(川)求三棱锥的体积.【变式1】•如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA i 平面ABC ， ABC 为等 腰直角三角形， BAC 90，且 AB AA 1， D,E,F 分别是 B 1A,CC 1,BC 的中点。

(1)求证：DE//平面ABC ; 2)求证：B 1F 平面AEF ; (3)设AB a ，求三棱锥D AEF 的体积。

二、线面平行与垂直的性质例3、如图4,在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD ， AB // DC ， △ PAD 是等边三角形，已知BD 2AD 4，AB 2DC 2 5 .(1)求证：BD 平面PAD ;(2)求三棱锥A PCD 的体B1积.MN 分别是棱CC i ，AB 中A iB A例4、如图，四棱锥P-ABCD 中，PD 平面ABCD 底面ABCD 为正方形，BC=PD=2E 为PC 的中点，CG 丄CB.(I )求证：PC BC ; (II )求三棱锥 C3—DEG 勺体积；(III ) AD 边上是否存在一点 M 使得PA//平面MEG 若存在，求AM 的长；否则， 说明理由。

【变式2】直棱柱 ABCDA i BiGD 底面ABC ［是直角梯形，/ BAD^Z AD G 90°，AB =2AD=2CD= 2.(I )求证：AC 平面BBCC; ( II) A i B 上是否存一点 P,使得DP 与平面BCB 与 平面ACB都平行证明你的结论.三、三视图与折叠冋题例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图 若F 为PD 的中点，求证：AF 面PCD ;(1) 证明：BD // 面 PEC ;(2) 求三棱锥E PBC 的体积。

VADCME ： V MECB 2 ： 1 ；(III )在点M 满足(II )的情况下，判断直线 AD 是否平行于平面EMC ，并说 明理由4侧视图(II )试在棱AB 上确定一点 M ，使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比)【变式3】一个四棱锥的直观图和三视 图如下图所示，E 为PD 中点.(I )求证：PB C PAB 王FAACD 平面BCD(如图2)(1)试判断翻折后直线 AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求三棱锥C-DEF 的体积。

四、立体几何中的最值问题例7.图4, AA 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于 A ，B 的任意一点，A i A= AB=2. (1) 求证:BC 丄平面A i AC(2) 求三棱锥A-ABC 的体积的最大值.例8.如图，在 ABC 中， B 二一，AB BC 2,P 为AB 边上一2于 点D,现将 PDA 沿PD 翻折至 PDA ',使平面PDA '平面PBCD.(1) 当棱锥A ' PBCD 的体积最大时，求 PA 的长；(2) 若点P 为AB 的中点，E 为AC 的中点，求证：A 'B DE. 于F , AP AB 2 , AEF ，当 变化时，求三棱锥 PA EF 体积的最大值。

【变式4】如图1所示，正 长为2a , CD 是AB 边上的高,E, F 分别是AC BC的中点。

现将 ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面C图4【变式5】如图3,已知在 ABC 中，C 90，PA 平面ABC AE PB 于E ，AF PC PA ABC 的边! ED A匠视至I-..F高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）••• DM // 平面 APC"）•••△ PMB 为正三角形,且D 为PB 中点, MD PB又由（1）二知 MD AP,二 AP PB 又已知 AP PC 二AP 平面PBC , ••• AP BC，又 T AC BC••• BC 平面APC ，二平面 ABC 平面PAC , （川）••• AB 20 ,二 MB 10, A PB 10 又 BC 4 , PC .100 16,84 2.21A S BDC ^S PBC 丄 PC?BC 丄 4 2 212 一 212 4 4A V D BCM V M BCD -S BDC ?DM - 2 21 5 3 10.733例2. （ I ）证明：因为三棱柱 ABC ABC 中，AA i 底面ABC 又因为CN 平面ABC , 所以AA , CN .1分因为AC BC 2 , N 是AB 中点， 所以CN AB.2分因为 AA i AB A ,A 分 /J B所以 CN 平面 ABBiA .分G【典例探究】例1解：（I ） M 为AB 中点，D 为PB 中点, 二 MD // AP ，又二 MD 平面 APCMD（U）证明：取AB,的中点G，连结MG , NG ,A N B因为N , G分别是棱AB , AB-中点，1 所以NG//BB , , NG -BB ..2 11又因为 CM // BB i , CM -BB i , 所以 CM //NG , CM NG . 所以四边形CNGM 是平行四边形所以 CN // MG .因为CN 平面AMB 1 , GM 平面AMB 1, 所以CN//平面AMB ..（川）由（U ）知GM 平面 AB .N . 101 2- i2变式1. （1）根据中点寻找平行线即可; 逆定理证明B 1F 所以V B 1AMNVM AB 1N32 43 （2）易证AF B 1F ，在根据勾股定理的 EF ；（ 3）由于点D 是线段AB 1的中点，故点D 到平面AEF 的距 13离是点B_,到平面AEF 距离的1,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。

2 【解析】（1）取AB 中点O ，连接CO, DO 1 DO // AA 1,DO - AA 1, DOCE ， DE //CO, DE 平面ABC 。

（ 4分） （2）等腰直角三角形 DO // CE, DO CE,平行四 平面ABC , CO 平面ABC , 又直三棱柱ABC A 1B 1C 1，面ABC AF面 C 1B ， AF B 1F设ABAA 1 1, B 1 v 6 — EF2 ,又AF EF F , B 1F 面 AEF 0ABC 中F 为斜边的中点， AF 面 BB 1C 1C ，BC 边形 DE// B 1F EF 2, B 1F 2EF 28分） （3）由于点D 是线段AB 1的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点 日到平面AEF 距 BFB1F 2 _ _fa，所以三棱锥D AEF的高为卩;在 RtAEF中, EF 乜a, AF2AEF 的体积为3 226 2a8所以三棱锥1 3a a16线面平行与垂直的性质例3. (1)证明：在△ ABD中, 由于AD .AD2 BD2 AB2AD BD又平面PAD 平面ABCD,BD 平面PAD .(2)解：过P作P0又平面PAD平面D AEF的底面面积为-8 a，故三棱锥（12分）2, BD 4, AB 2.5平面PAD p|平面ABCDAD交AD于O.ABCD , PO 平面 ABCD .••• △ PAD是边长为2的等边三角形， .PO '3由(1)知，AD BD，在 RtA ABD 中,斜边AB边上的高为ABAD BD 平面 ABCD，••• AB //DC ,S A ACD〔CD2 .510分VA PCD VP ACD1S亠S AACD3PO14分例4、(I )证明: PD 平面ABCD PD BC又••• ABCD 是正方形，••• BC 丄CD••• PDICE 二D 二 BC 丄平面 PCD又••• PC 面 PBC 二 PC 丄 BC(II )解：••• BC 丄平面PCD 二GC 是三棱锥 G-DEC 的高1 1••• E 是 PC 的中点， S EDC -S EDC - S PDC2 2 (III )连结AC,取A C 中点O,连结EO1 1(2 2) 2 2GO 延长GO 交AD 于点M,则PA EO 平面 MEG, PA 平面 MEG OCG OAMAMCG柱 ABCDABCD 中,BB 丄平面 ABCD 二 BB 丄AC 又•••/ BAB / ADC 90°, AB=2AD=2C[=2,••• AOJ2，/ CAB45° ,A B&<2，二 BCLAC又 BB A BOB, BB , BC 平面 BBCC,二 AC 丄平面(n )存在点P , P 为AB 的中点。

证明：由P 为AB 的中点，有PB // AB 且PB =」AB2又••• DC/ AB, DC=-AB ••• DC/ PB ,且 D(=PB ,2••• DCEP为平行四边形,从而CB // DP 又CB // ACB, DP BBCC-,-.明：(I )直棱3 3z —a..■-z /R面 ACB, ••• DP// 面ACB.同理，DP//面BCB例5、 (1) 由几何体的三视图可 PA//I PAAD, F 为PD B中点, 4. PCDEB , PA 2 PA 4 MN12;\ ABCD 是边长为4的正方形,又 CD DA,CD PA,一AF, AF1C D(2)取PC 的中点M , AC 与BD 的交点为N ,MN EB, MN // EB ，故BEMN 为平行四边形,EM // BN , BD // 面 PEC 。