没有意义。
10
各式的物理意义：
f ( v)ຫໍສະໝຸດ f (v)dv Nf (v)dv
V0将速率分布 曲线下的面积 分为相等的两 部分
v 两个底边相等， 面积不等的小矩形 面积各代表什么？

v2
0
v1
Nf (v)dv Nf (v)dv
v0
f ( v)

0


vp
Nf (v)dv
0 v 1
v2
v
11
推算速率的三个统计值 1. 算术平均速率 1 1 v (v1N 1 v 2 N 2 v i N i ) ( N N 1 1 vdN v vNf (v )dv vf (v )dv N N
分子的方均根速率 vrms ：
压强的微观理解:
vrms
v
2
3kT m
3 RT M mol
2
能量均分定理：
1 每个自由度可被均匀分配的能量是 kT 2
每个气体分子的平均动能:
i Ek kT ( i= 3, 5, 6. ) 2
3 kT 2
每个气体分子的平均平动动能:
理想气体的内能：动能和势能？
N
由于dNv / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与总分子 数之比，所以它应与v 的大小有关，可以写成：
d Nv f (v ) d v ， N
f (v) 称速率分布函数
d Nv f (v ) N dv
7
f (v)dv 的物理意义是什么？
由定义式
d Nv f (v ) 可看出 f (v) 的意义： N dv
n t
4
n k
12-3
平衡态的经典统计分布
1. 概率分布函数及归一化条件
统计规律是大量偶然、无规则事件在整体上表现出 的一种规律，对单个事件而言，无任何意义。
dN f ( x) Ndx
dN N f ( x) d x 1 N N

5
2. 麦克斯韦速率分布律 要深入研究气体的性质，不能只研究一些平均值， 如平均速度，平均平动动能等；还要进一步弄清楚分子 按速率的分布情况。 从微观上讲，描述一定质量的气体所有分子的速率 状态时，因为分子数极多，而且各分子的速率通过碰撞 不断的改变，所以不能逐个加以说明。
v N )
i i i

同理: v 2 v 2 f (v )dv
m 3/ 2 v vf (v )dv 4 ( ) e 2kT 0 0




mv 2 2 kT
v dv
3
8kT m
即
v
8kT m
8 RT RT 1.60 M mol M mol
12
2. 方均根速率
m 2 f (v ) 4 ( ) v e 2kT
得 vp
2kT m
3 2
mv 2 2 kT
令
df ( v ) 0 dv
2 RT RT 1.41 M mol M mol
最概然速率用于讨论分子速率分布
vp v v
2
14
15
不同温度下的速率分布曲线:
m 3/ 2 m v 2 / 2 kT f (v ) 4 π ( ) e v 2 2 π kT
在一定的条件下，速率分布函数将有特定的表达式。 8
1859 年麦克斯韦（ Maxwell ）根据概率论的规律和 对气体分子运动的假设，导出了理气在无外场时，温度 为T的平衡态下，分子速率分布函数为：
m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f (v ) 4 π ( ) e v 2 π kT
v v f (v)dv
2 2
v ( v f (v )dv )
2 2 0

1 2
3kT m
v rms
3 RT RT 1.73 M mol M mol
方均根速率可用来计算分子平均动能.
1 E mv 2 2
13
3. 最概然速率
最概然速率意义：在vp附近的单位速率区间内的分子 数占总分子数的百分比最高。
从宏观上看，气体分子的速率分布是有统计规律性的。 我们可以给出具有各种速率的分子各有多少或各占总分子 数的百分比多大，这种方法就给出了分子按速率的分布。
6
按照经典力学的概念，分子的速率可以连续地取从 0到无限大的任何值，因此必须按区间去研究。
理想气体分子运动的速率应用连续型分布函数来描述： 设：dNv 为速率v v +dv 区间内的分子数， N 为 d Nv dv 总分子数，则：d N v N d v ，
0 v v +d v v f (v) 是分子出现在 v 附近的单位速率区间的概率，而 非某个分子具有速率 v 的概率。 N v f (v ) 1 对于前者，取 v 1 ，可表示为 N 对于后者，取 v 0 ，可表示为
N v f (v ) 0 0 N
f (v) 是一种统计规律，谈论速率恰好等于某一确定值
f (v)是在速率v 附近、单位速率区间内的分子数 与总分子数的比例。 对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速率v 附 近单位速率区间的概率。
d Nv N 1 因为 d N v N ， 即 v 0 v 0


所以
0
f (v ) d v 1
速率分布函数的归一化条件。
f ( v) T，m 一定
f (v ) d v d Nv N
m — 气体分子的质量
归一化条件 f v d v 1
0
在左图上曲线的几何意义为： 0 v v +d v v
曲线下面的总面积等于1。
9
f(v) 麦克斯韦分子速率 分布函数的物理意义：
T，m 一定
f (v ) d v d Nv N
系统的内能不包括系统作为一个整体运动的机械能！
3
总结一下几个容易混淆的概念 1. 分子的平均平动动能
2. 分子的平均动能 3. 理想气体内能
3 t KT 2 i k KT 2
E M i i RT RT 2 2
4. 单位体积内气体分子的平动动能
5. 单位体积内气体分子的动能
张福俊
2013-2014 第一学期
Flash tracking the key points of last lecture
1 2 1 2 2 2 P nmv n mv n t 3 3 2 3 1 3 2 温度的微观理解： t mv kT 2 2
热力学第三定理：