2
0
e
in
d
dz 例2： 计算积分 C n 1 ，其中， ( z z0 )
C 是 z0 为圆心 r 为半径的正向圆周。
n = 0时， dz i C z z0 r n220e
in
d i d 2 i
0
dz 例2： 计算积分 C n 1 ，其中， ( z z0 )
0 0 0
例3： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（3）由原点经 i 到 1+i 的折线。 解：C分为两段C1和C2，参数方程分别为
x 0， y t， 0 t 1
代入积分，得
1 1
x t， y 1， 0 t 1
1

C
zdz itd (it ) (t i )dt (2t i )dt 1 i
C 是 z0 为圆心 r 为半径的正向圆周。
2 π i， n 0 dz C ( z z0 )n1 0， n 0


这里积分结果和半径无关
角度可选为 [，+2]，结果一样 即和起点的选择无关
例3： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（1）由原点到 1+i 的直线段； （2）由原点经 1 到 1+i 的折线；
（2）由原点经 3 到 3+4i 的折线；
解：C2的参数方程为
x 3， y 4t，
代入积分，得
0 t 1
例1： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（2）由原点经 3 到 3+4i 的折线；

C2
zdz ( x iy )d ( x iy )
C2 1
(3 4it )d (3 4it )
2 2 0
1
[(1 2t ) 2 (1 3t ) 2 ](2 3i) dt
0
1
例4： 计算积分

C
| z | dz ，其中C为
2
（2）由 1+i 经 3+i 到 3+4i 的折线。 解：C分为两段C1和C2，参数方程分别为
x 1 2t， 0 t 1 y 1，
n

C
( x iy )dz ( x ix )d ( x ix )
2 2 n 0
1
( x 2 ix n )(dx nix n 1dx)
0
1
( x nx
2 0
1
2 n 1
)dx i ( x nx
n 0
1
n 1
)dx
1 1 n i 6 n 1 n 2
C1
C2
f ( z )dz +…+ f ( z )dz
Cn

设 C 的长度为L，|f (z)|M， zC
| f ( z )dz | LM
C
例1： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（1）由原点到 3+4i 的直线段；
（2）由原点经 3 到 3+4i 的折线；
（3）由原点经 4i 到 3+4i 的折线。
2 C
（2）沿曲线 y = x2 从原点到 1+i。
解： C的方程为 y x ，
2
0 x 1
2

C
( x iy )dz ( x ix )d ( x ix )
2 2 2 0
1
( x 2 ix 2 )(dx 2ixdx)
0
1
( x 2 x )dx i ( x 2 x )dx
0
(16t 12i )dt
0
1
8 12i
7 C zdz C1 zdz C2 zdz 2 12i
例1： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（3）由原点经 4i 到 3+4i 的折线。 解：C分为两段C1和C2，参数方程分别为
x 0， y 4t， 0 t 1
例3： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（2）由原点经 1 到 1+i 的折线； 解：C分为两段C1和C2，参数方程分别为
x t， y 0， 0 t 1
代入积分，得
1 1
x 1， y t， 0 t 1
1

C
zdz tdt (1 it )d (it ) (2t i )dt 1 i
C 是 z0 为圆心 r 为半径的正向圆周。
n = 0时， dz i C z z0 r n n 0时，
2 2

0
e
in
d i d 2 i
0
2 0
dz i 1 in C ( z z0 )n1 r n in e
0
dz 例2： 计算积分 C n 1 ，其中， ( z z0 )
C 是 z0 为圆心 r 为半径的正向圆周。
解：C的参数方程 z z0 re
2
i
0 2
i
d ( z0 re ) dz n 1 C ( z z0 ) 0 ( z0 rei z0 )n1
2 0
id i n n in r e r

代入积分，得
x 3t， y 4， 0 t 1
7 C zdz C1 zdz C2 zdz 2 12i
dz 例2： 计算积分 C n 1 ，其中， ( z z0 )
C 是 z0 为圆心 r 为半径的正向圆周。
dz 例2： 计算积分 C n 1 ，其中， ( z z0 )
（1）沿曲线 y = x 从原点到 1+i；
解： C的方程为
y x，
0 x 1
2

C
( x iy )dz ( x ix)d ( x ix )
2 0
1
( x x)dx i ( x x )dx
2 2 0 0
1
1
1 5 i 6 6
例5： 计算积分 ( x iy )dz ，其中C为
C
(3t 4it )d (3t 4it )
0
1
(7t 24it )dt
0
1
7 12i 2
例1： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（2）由原点经 3 到 3+4i 的折线；
解：C分为两段C1和C2， C1的参数方程为
x 3t， y 0，
（2）由 1+i 经 3+i 到 3+4i 的折线。
例4： 计算积分

C
| z | dz ，其中C为
2
（1）由 1+i 到 3+4i 的直线段； 解：参数方程为
x 1 2t， y 1 3t， 0 t 1
|z|
C
2
dz ( x y )d ( x iy )
代入积分，得
0 t 1
例1： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（2）由原点经 3 到 3+4i 的折线；

C1
zdz ( x iy )d ( x iy )
C1 1
3td (3t )
0
9tdt
0
1
9 2
例1： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
0 0 0
例3： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（1）由原点到 1+i 的直线段； （2）由原点经 1 到 1+i 的折线；
（3）由原点经 i 到 1+i 的折线。
☺ 沿着三条不同路径，积分各不相同 ☺ 例1中沿不同路径积分相同
例4： 计算积分

C
| z | dz ，其中C为
2
（1）由 1+i 到 3+4i 的直线段；
复变函数积分
设函数 f ：D C， C 为区域 D 中的有向简单光滑曲线，类似
于实函数情形，定义 f 沿着 C 的积分
C

f ( z )dz
积分的计算，将 f (z) = u + iv，z = x + iy 代入即得
C
f ( z )dz (u iv)d ( x iy)
C
(udx vdy ) i (vdx udy )
C C
设曲线 C 的参数方程为
x x(t )， y y (t )，
代入得
t
C

f ( z )dz (ux vy)dt i (vx uy )dt



性质： 改变曲线C的正负方向，记为C-，则
C

f ( z )dz f ( z )dz
（3）由原点经 i 到 1+i 的折线。
例3： 计算积分 C zdz ，其中积分路径C为
（1）由原点到 1+i 的直线段； 解：该直线段的参数方程为
x t， y t，
得
0 t 1

C
zdz (t it )d (t it )
0
1
2tdt 1
0
1
习题： P 54 T1
代入积分即得。
x 3， y 1 3t， 0 t 1
例5： 计算积分 ( x iy )dz ，其中C为
2 C
（1）沿曲线 y = x 从原点到 1+i； （2）沿曲线 y = x2 从原点到 1+i。