（4）各有限点都不在∞线上。
§2.3 几何不变无多余约束的平面杆
件体系的几何组成规则
上节回顾
只有几何不变体系才能作为结构使用。
对于结构工程而言，几何组成分析的主要目的是判断杆件体 系是否几何不变体系，确保它能作为结构使用。
若干概念：自由度、计算自由度、几何不变体系、几何可变体 系、瞬变体系、刚片、约束、多余约束、瞬铰（虚铰）等。
3
A 1
定义
二元体：
两根不共线的链杆通过铰连接而构成的体系。
2
B
增减二元体对 体系的几何性 质没有影响！
(a)
(b)
(c)
(d )
(e)
3 规则2——两刚片规则
平面内两个刚片之间用一个铰和 一根链杆相连，若铰和链杆不共 线，则构成几何不变体系，且没 有多余约束。
两刚片规则的另一种形式：
平面内两个刚片之间用三根 链杆相连，若三根链杆既不 交于一点，也不互相平行， 则构成几何不变体系，且没 有多余约束。
问题
几何不变体系有什么特 点？几何不变体系有什 么组成规律？分析的方 法和途径是什么？
一、平面几何不变体系的基本组成规则
1 基本规则——铰接三角形规则
C
3
2
A
1
B
平面内三根杆用三个铰两两相连，若三铰不共线，则构成几何不 变体系，且没有多余约束。
2 规则1——二元体规则
C
平面内一个刚片和两根链杆之间 用三个铰两两相连，若三铰不共 线，则构成几何不变体系，且没 有多余约束。
（1）平面内1个点——2个自由度：x、y （2）平面内1个刚体——3个自由度：x、y、θ
4、约束——减少体系运动自由度的因素。 *简单约束：能减少一个自由度的约束
（1）1根链杆=1个简单约束。
（2）1个单铰=2个简单约束。
（3）1个单刚结点=3个简单约束。 （4）1个定向连接=2个简单约束。
（5）1个连接n根杆的复铰=（n-1）个 单铰。 （6）1个连接n根杆的复刚结点=（n-1） 个单刚结点。
C
3
2
A
1
B
2、几何可变体系——忽略材料应变， 位置和形状可以改变的体系。
（1）几何常变体系——位置和形状总是可以 改变的体系。 （2）几何瞬变体系——位置和形状稍微改变 后能成为几何不变体系的体系。
§2.2 自由度和约束的概念
（运动）自由度——体系独立的运动形式 （可以独立改变的坐标数目）。
2
7
10
8
9
13
2. 合理进行等效变换，确定刚片与约束
将已知为几何不变的部分视为刚片I、II、III；两 刚片之间的两根链杆视为虚铰。
1
2
3
A
7
3. 选择合适的规则进行解释
满足三刚片规则。
4. 准确地描述结论：
（1）是几何不变体系； （2）没有多余约束。
6 4 刚片I
10 8
刚片II
5
9
刚片III11源自简例Ⅰ(Ⅰ,Ⅱ)
Ⅱ
(Ⅰ,Ⅲ)
(Ⅱ, Ⅲ)
Ⅲ
运用规则
不变,无多
不断扩大刚片并运用规则
不变,无多
二、几何分析的步骤
• 1 定刚片，找约束；——灵活 • 2 套规则；——相对灵活 • 3 出结论：——格式固定 • 两个要素： • （1）是否几何不变体系； • （2）多余约束的数目。 • 注意用图形“说话”。
二、例题
A
例1
A
B
刚片2 B
C
D
C 刚片3 D
刚片1
解：取图示刚片，刚片1与刚片2以一个铰和一根链杆 连接构成无多余约束的几何不变体系，此大刚片与 刚片3以三根既不互相平行也不交于一点的链杆连接， 故原体系为几何不变体系，没有多余约束
例2
A
刚片1 A
B
CD
E
刚片2
B
CD
E
解：AB与基础以不交于一点的一个铰和一根链杆相连，构 成无多余约束的几何不变体系，视为刚片1，刚片1与杆 CDE以三根既不互相平行也不交于一点的链杆相连，故 原体系为几何不变体系，没有多余约束
例3 C
G
D
E
E
F
H
F H
A
B
A
B
解：EFAB部分为有一个多余约束的几何不变体系，加入二 元体CEG-GDF后仍构成几何不变体系，与基础按两刚片 规则构成，故体系为有一个多余约束的几何不变体系。
例4
C
D
刚片2
C
D
刚片3
EF
EF
A
BA
B
刚片1
解：取图示3刚片，分别以实铰A、B以及水平方向无穷远 的虚铰连接，三铰共线，故体系为几何可变体系（瞬变 体系）。
例5
C D
E
A B
解：基础依次叠加二元体AE-EB,ED-EC，故体系为几何不 变体系，有2个多余约束。
例6
A
C
D
E
F
1 A
刚片2 E
B
C
刚片3
2 D
F
B 刚片1
解：取图示3刚片，由不共线的三个铰连接，构成几何不 变体系，没有多余约束。
例7
1
刚片1
3
刚片2
刚片3
2
解：取图示三刚片，以三铰相连，三铰共线，故为几何可 变体系。
三、例题 例2
C
1
D
2
3
D
45
7
8
6
A
9 E 10 F 11 G 12 B
W=2j-b＝2×8－15＝1-----视为铰接体系 W= 3m-(3g+2j+b) ＝3×12－(2×16 +3)＝1-----视为刚片体系
三、例题 例3
视为刚片体系
W= 3m-(3g+2j+b) ＝3×5-(2×4+7)＝0
问题
如何对杆件体系进行几何组成
分析？分析结果如何表达？
几何不变体系组成规则——三角形基本规律 —— 无多余联系的几何不变体系
两 刚 片
三 刚 片
二 元 体
二 元 体
三个规则
➢ 三刚片规则： 三个刚片用不在同一直线上的三 个单铰两两相连，组成无多余联系的几何不变体系。
➢ 二刚片规则： 两个刚片用一个铰和一根不通过此 铰的链杆相连，组成无多余联系的几何不变体系。
二、公式
1、 刚片体系公式
W=3m-(3g+2j+b)
其中m为体系内刚片数目；g为单刚结点数目，j为单铰数目；b为单链杆数目
2、 铰接体系公式
W=2j-b
其中j为体系内铰结点数目；b为体系内单链杆数目
a
三、例题 例1
D
1 2 E 3 F4
5 67
9
10
C 8
A
G
H
11
12
B
a
a
a
a
a
W= 2j-b ＝2×8-16＝0
§2.1 几何组成分析目的、几何不变体系和 几何可变体系
几何组成分析目的
1、判断体系是否几何可变——只有几 何不变体系才能作为结构使用。
2、判断几何不变体系中的多余约束数 目——区分静定结构与超静定结构，选 择适当的解法。
几个基本概念
• 几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系
几何可变体系
1、几何不变体系——忽略材料应变， 位置和形状不能改变的体系。
FB
杆件结构根据计算特点分为两类
静定结构：所有内力、反力仅由平衡条件即可唯一确定。
超静定结构：所有内力、反力仅由平衡条件不能唯一确定。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变 瞬变
关系如何？
基本规则之间的关系
C
3
2
C
3
2
A
1
B
A
B
1
C
C
3
2
A
B
1
3
A 1
2 B
3 A
B
C 2
二、基本规则的应用——几何分析实例
例1 试对右图所示杆件体系进行几何组成分析
解： 1. 部分拆除，简化分析对象
拆除对于体系中不影响几何不变分析的二元体、与 基础之间三根不平行、不共点的链杆。
1
3 6 4 5 12 11
思考：为什么计算自由度不能区分几何不变体系？
计算自由度不能反映 约束的分布情况！
（1）W>0，体系必然几何可变(约束数目)； （2）几何不变体系必然 W<=0；
W<=0，体系不一定几何不变。
§2.6 结构的几何组成和静定性的关系
FAx FAy
FAx FAy
F
不变,无多 静定结构
FB
F FC
不变,有多 超静定结构
§2 结构的几何组成分析
本章内容包括：
1. 几何组成分析的目的、几何不变体系和几何可变体系 2. 自由度和约束的概念 3. 几何不变无多余约束的平面杆件体系的几何组成规则 4. 几何组成分析举例 5. 体系的计算自由度数公式 6. 结构的几何组成和静定性的关系
重点和难点：
1. 几何组成规则和分析举例 2. 结构的几何组成和静定性的关系
例8
刚片1
1 刚片2
刚片3
2
3
解：取图示3刚片，以不共线的三铰相连，故为几何不变 体系，没有多余约束。
例9
A
D
C
E
F
B
刚片2
1
刚片3 刚片1