2.5 拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。

按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

2.5.1 拉普拉斯变换的定义
如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯
变换定义为
()()()0
e d st
F s L f t f t t ∞
-=∆⎡⎤⎣⎦⎰(2.10)
式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数），
⎰
∞
-0
e st
称为拉普拉斯积分； )(s F 是
函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。

2.5.2 几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数
)(1t 的拉氏变换
单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为
⎩⎨
⎧≥<∆)0(1
)0(0)(1t t t
单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。

单位阶跃函数的拉氏变换式为
0e
1d e )(1)](1[)(0
∞
-===-∞
-⎰
st st
s
t t t L s F 当 0)Re(>s ，则
e lim →-∞
→st t 。

所以
[]s s s t L st 1
)1(00e 1)(1=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（2.11）
图2.7 单位阶跃函数
2.指数函数的拉氏变换
指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中
是常数。

令
则与求单位阶跃函数同理，就可求得
（2.12）
3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换
设
，
，则
由欧拉公式，有
所以
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=
-∞--∞⎰⎰t t s F st t st t d e e d
e e j 21)(0j
0j 1
ωω ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t st t s t
s d e e d e j 210)j (0)j (ωω ⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=
+---0e j 10e j 1j 21)j ()j (t s t s s s ωωωω
22j 1j 1j 21ωω
ωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=
s s s
(2.13）
同理
(2.14）
4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换
单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。

其幅值和作
用时间的乘积等于1，即。

如图2.8所示。

图2.8 单位脉冲函数
单位脉冲函数的数学表达式为
其拉氏变换式为
此处因为时，，故积分限变为。

(2.15) 5.单位速度函数的拉氏变换
单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为
见图2.9所示。

图2.9 单位速度函数
单位速度函数的拉氏变换式为
利用分部积分法
令
则。