它根均位于 左半平面，这样的系统称为临界稳定系统，s临界稳定系统的输出根据输
入的不同，或等幅振荡或发散，因此，在工程实际上视临界稳定系统为不稳定系统。
( j)
s
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线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。
该定义说明，由于扰动的作用，使系统的工作状态发生变化，如果系统的状态能 恢复到原来的工作状态，则系统是稳定的。
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稳定的定义
定义二：在有界输入－有界输出（Bouned-Input-Bounded-Output)意义下的稳定性定义。 若线性系统在有界的输入量或干扰量的作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系 统是稳定的，否则如果系统在有界输入作用下，产生无界输出，则称系统是不稳定的。
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状 态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。
I m S平面
稳临不
定 界 稳 Re
区稳定 定区
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再来讨论有界输入－有界输出意义下的稳定性定义。同样假设系统的单位脉冲响应
或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。
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充要条件说明
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡， 称为随遇平衡状态；
| y(t) | M r M
n2
n2
B e lnlt l
c os nl
1l2t
C e lnlt l
sin nl
1 l 2 t，t 0
l 1
l 1
若冲响0应y函 (t数)无d为t界，则不，能则保当证 且输仅出当响积应分：
有界输入－有界输出稳定性的概念是考虑在输入影响下系统的行为。
尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用，但对线性定常系统来 说，不论是在李亚普诺夫，还是在有界输入－有界输出的意义下，系统稳定与否完 全取决于系统本身的结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无 关。输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。
l 1
l 1
可点见和，共若轭复数ltim极 点y (的，t)实则 部式0 ，中表明和若要使应p单该j 位为脉负冲l数响n。l 应而收敛于和零，分系别统为的系极统点的p j均实应数有极 lnl
负的实部。则线性系统稳定的充分必要条件可描述为：系统的所有极点必须位于 左
半平面。
s
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系统的特征根中只要有一个正实根或一对具有正实部的共轭复根，则其脉冲响应函 数就呈发散形式，系统不可能再回到原来的工作状态，这样的系统就是不稳定系统。 也就是说，对于不稳定系统，特征方程至少有一个根位于 右半平面，在这种情况下， 系统的输出对任何输入都是不稳定。如果特征方程有一对共轭根在虚轴 上，而其
为 ，则系统在任意输入信号y (t)的作用下，输出响应 可表示为 r(t与) 的卷积，
y(t)
y (t) r(t)
y(t) 0 y ( )r(t )d
如果 r有(t)界，即存在常数 使得：Mr
| r(t ) | Mr
由于：
| y(t) | 0 y ( )r(t )d 0 y ( )r(t )d
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统 在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波 动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的 扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统 的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。
0 y ( ) | | r(t )d M r 0 y ( )d
可见，若
0
y绝(t对)d可t 积，即
有界或y存 (在t)常数
，使得：
M
0 | y (t) |dt M
则输出响应
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必y(定t)是有界的
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y (t) n1 Aje p jt j 1
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线性控制系统稳定的充分必要条件
两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。由于系统的稳定性与
外界条件无关，因此，可设线性系统的初始条件为零，输入作用为单位脉冲信号
，这时系统的输出便是单位脉冲响应 。这相当于在扰动信号作用下，输出信号
偏离原来工作状态的情形。根据李亚普诺夫意义下的稳(t定) 性定义，当时间趋于无穷大
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稳定的定义
定义一：俄国学者李亚普诺夫意义下的渐进稳定性定义：如果线性系统受到扰动的作 用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于 零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳定，简称稳定。反之，若 在初始扰动的影响下，系统的被控量随时间的推移而发散，则称系统不稳定。
j 1
l 1
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部分分式展开得：
Y (s)
A n1 j
j1 s p j
n2 l 1
Bl (s l nl ) Clnl 1 l 2
s2
2 l nl s
2 nl
单位脉冲响应为：
y (t) n1 Aje p jt j 1
n2
n2
Ble lnlt cosnl 1 l 2 t Cle lnlt sin nl 1 l 2 t，t 0
时下，面若讨脉论冲系响统应稳收定敛性于与y原系 (来统t)的极工点作之状间态的，关即系：:
则线性控制系统是稳定的。
由于系统的输入为单位脉冲信号
，则系统的输出为：
lim
t
y
(t)
0
R(s) 1
m
kg (s zi )
Y (s) n1
i 1 n2
(s p j ) (s2 2 l nls nl2 )