z 1
AT ATz 1 AT e(T ) lim ( z 1) 2 z 1 ( z 1) 1 GH ( z ) lim( z 1) GH ( z ) Kv z 1
静态速度误差系数
A 2 r (t ) t 2
K v lim ( z 1) GH ( z )
D( z ) z 2 ( z 1) KT z 3 z 2 KT 0
0 K 2.472
K与T对离散系统稳定性的影响：
T一定， K增大，离散系统的稳定性变差，甚至使系统变 得不稳定。 K一定， T增大，则丢失的信息越多，离散系统的稳定性 变差，甚至使系统变得不稳定。
e2 (T ) lim( z 1)
z 1
r (t ) t
r (t ) t 2
2
Tz z( z 1) T 1 ( z 1)2 z 2 0.8 z 0.2 0.4 2
T 2 z( z 1) z( z 1) e3 (T ) lim( z 1) 2 3 z 1 2( z 1) z 0.8z 0.2
D( w) w 3 2w 2w 40 0
Routh
1 w3 2 w2 w 1 18 w 0 40
2 40
系统不稳定
例4 离散系统结构图如图所示， T=1s,求使系统稳定的K值范围。 解:w域中的Routh判据
1 1 e Ts K 1 G( z ) Z (1 z ) K Z 2 s( s 1) s s ( s 1)
G( z ) 0.368K ( z 0.718) F( z ) 2 1 G( z ) z (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
F( z )
G( z ) 0.368K ( z 0.718) 2 1 G( z ) z (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
z 1
AT 2 z( z 1) 1 AT 2 e(T ) lim( z 1) 3 z 1 2 ( z 1) 1 GH ( z ) lim( z 1) 2 GH ( z )
z 1
AT 2 Ka
静态加速度误差系数 K a lim ( z 1)2 GH ( z )
§7.5.4 计算稳态误差的一般方法
1. Z变换中值定理法
若e(z)的极点全部位于Z平面的单位圆内，即离散系统是稳 定的，则可用Z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差。
ess () lim e (t ) lim(1 z 1 ) E ( z)
t z1
线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构参 数有关，与输入序列的形式及幅值有关，而且还与采样周期 T 有关。
z 1
1 GH ( z ) GH0 ( z ) v ( z 1)
Kp
K v lim
z 1
K a lim
z 1
lim GH ( z ) ( z 1) GH ( z ) ( z 1)2 GH ( z ) z 1
例 2 稳定离散系统的结构图如图所示，已 知 r(t)=2t, 试讨论有或没有 ZOH 时的 e(∞) 。 解．
D( z ) z 2 0.8 z 0.2 0 求根公式：z1,2 0.4 j 0.2 z1,2 0.447 1
系统稳定
r ( t ) 1( t )
T=0.2, K=10
z z( z 1) e1 (T ) lim( z 1) 2 0 z 1 z 1 z 0.8 z 0.2
1 1 GH ( z )
r ( t ) A 1( t )
Az 1 A A e(T ) lim ( z 1) z 1 z 1 1 GH ( z ) 1 lim GH ( z ) 1 K p z 1
静态位置误差系数
r (t ) A t
K p lim GH ( z )
2 z 1 T 2 z ( z 1) 1 KT z 1 (1 z ) K Z 3 K 2 s z 2( z 1) 3 2 ( z 1 ) z 1 Tz 1 KT 1 1 1 0.5(1 z ) K Z 2 1 0.5 K 1 z ( z 1) 2 s 2 z 1
e( ) lim ( z 1) F e ( z ) R( z )
z 1
1 lim( z 1) R( z ) z 1 1 GH ( z )
e(T ) lim( z 1) F e ( z ) R( z ) lim( z 1) R( z )
z 1 z 1
K K (1 e T )z G( z ) Z ( z 1)(z e T ) s ( s 1 ) 无ZOH时 K (1 e T ) z K v lim ( z 1)G( z ) lim K T z 1 z 1 (z e )
D( z ) z 2 (0.368K 1.368)z (0.264K 0.368) 0
z w 1 w 1
(
w 1 2 w 1 ) (0.368K 1.368)( ) (0.264K 0.368) 0 w 1 w 1
( w 1)2 (0.368K 1.368)(w 1)(w 1) (0.264K 0.368)(w 1)2 0
1 w z 1 w z 1 w z 1
T 1 w 2 z T 1 w 2 w 2 z 1 T z1
设 z x j y
w u jv
z 1 x 1 jy x 2 1 y 2 j 2 xy w u jv 2 2 z 1 x 1 jy ( x 1) y
D( w) 0.632Kw 2 (1.264 0.528K )w (2.736 0.104K ) 0
K 0 1.264 0.528 K 0 2.736 0.104 K 0
K 0 K 2.394 K 26.3
0 K 2.394
例4 系统结构图如图所示, T=0.25, 求使系统稳定的K值范围。
由z变换定义： z e 令： s j
sT
j
[ s]
稳定区
不稳定区
则：z e sT e T e jT
0


z e T z T
z 1 z 1 z 1
1
0 0 0
Im
[ z]
不稳定区 稳定区
0
1
Re
结论：S平面的稳定区域在Z平面上的 影象是单位圆内部区域
1 e Ts Ke 2Ts G( z ) Z s s 1 K ( z 1) Tz KT 1 2 K (1 z ) z Z 2 2 3 2 z ( z 1) z ( z 1) s
G( z ) KT F( z ) 2 1 G( z ) z ( z 1) KT
例１.已知离散系统结构图,K=10, T=0.2,求 r(t)=1(t), t, t2/2 时系 统的e(∞)。
解．
1 e Ts K Z 2 s s C(z) G( z ) E(z) 1 e Ts 0.5 K 1 Z s s
x2 y2 1 0 [w] 虚轴 u 0 2 2 ( x 1) y
内 z平面单位圆 外 的点
2 2
x 2 y 2 1 [z] 单位圆
u 0 对应w平面 u 0
1 x y 1
例１ 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。
D( z ) 45z 3 117z 2 119z 39 0
z ( w 1) ( w 1)
w 1 3 w 1 2 w 1 45( ) 117( ) 119( ) 39 0 w 1 w 1 w 1
D( w) 45( w 1)3 117( w 1)2 ( w 1) 119(w 1)(w 1)2 39(w 1)3 0
( z 1) K 1 1 1 ( z 1) K Tz z z Z 2 2 T z s s s 1 z ( z 1 ) z 1 z e
(T 1 e T ) z (1 e T TeT ) T 1 0.368K ( z 0.718) K T ( z 1)(z e ) ( z 1)(z 0.368)
2. 静态误差系数法 —— r(t) 作用时e(∞)的计算规律
( 适用于系统稳定, r(t)作用,对误差采样的线性离散系统 )
1 GH ( z ) Z G( s ) H ( s ) GH0 ( z ) v ( z 1) lim GH 0 ( z ) K
z 1
设
E( z) 1 Fe ( z ) R( z ) 1 GH ( z )
w 1
可以应用劳斯判据判稳了。为了区别 s 平面下的劳斯判据，
称 w 平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。
j
[ s]
Im
[ z]
稳定区
不稳定区
不稳定区
0

ze
j
sT
1
稳定区
0
1
Re
[w]
0
u
w z 1 z 1
双线性变换
w 变换
w1 z w 1 z 1 w z 1
§7.5 离散系统的稳定性与稳态误差
§7.5 离散系统的稳定性与稳态误差
§7.5.1 s →z 映射