R(s)
Y(s)
-
G1(s)
C(s) G2(s)
由 此 得 闭 环 系 统 的 特方 征程 为 1 G1G 2 H ( z ) 0
H(s)
设特征方程的根为 z1 , z 2 , z n , 则 线 性 数 字 控 制 系 统定 稳的 充要条件是 : 系 统 特 征 方 程 的 根 均于 位z平 面 的 单 位 圆 内 ,或全 部特征根的模小于 1.
例1.试分析特征方程为z2-z+0.632=0的系统的稳定性.
解:
z1,2
1 1 4 0.632 2
0.5 0.5 1.528 0.5 j 0.618
| z1 || z 2 |
2 2 0.5 0.618 0.795 1
系统是稳定的
例2: 设离散系统如下图所示，其中
§8-5 离散系统稳定性分析
一.s平面与z平面的映射关系 z e Ts s 2T
而 s j z e T e jT | z | e T z T
(1)
当 0 s j
当由 T T
| z | 1
[s]
z 由 - 因此s平面的虚轴对应 z平面的单位圆
系统不稳定 , 有两根在单位圆外
例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期T=0.2(秒)
r(t)
-
T
1 e Ts s
2 s ( 1 0.1 s )( 1 0.05 s )
解:
G(s)
(1- e -Ts ) s
-1 0.3 0.4 0.1 2 G( ， G ( s ) ， 。试分析闭环稳定性。 s ( s 1)
H (s) 1 T 1
解：G ( z ) Z

10 s ( s 1 )
10(1 e 1 ) z ( z 1)( z e 1 )
闭环特征方程为
1 G( z ) 0
三.Routh稳定判据
解:
令
1 得 45(ω1 ) 3 117( ω1 ) 2 119( ω1 ) 39 0 z ω ω1 ω1 ω1 ω1 3 2 整 理 得: ω 2ω 2ω 40 0 ω ω 3 2 1 2 - 18 40 2 40 0
1 ω ω 0


1 2 Ka lim ( z 1) G ( z ) 0 T 2 z 1 1 1 1 E( ) K K K P v a
Ⅰ型系统对于阶跃输入是无差的，对于斜坡输入是有差的，对于抛物线 输入的误差是无穷大。
1e Ts s
K s( s a)
解: G ( z )
0.368z 0.264 ( z 1)( z 0.368) 1 e ss K 0 P 0.623 1 e ss K 0.732 0.83 v e ss K a
1
K P lim G ( z ) z 1 Kv Ka 1
即
z 2 4.952z 0.368 0
解得特征根 因为
z2 1
，故离散闭环系统是不稳定的。
z1 0.076, z2 4.876
1 代入闭环采样系统的特 征方程 , 进行 z变换后 , 令z ω ω1 既可用 Routh 判据 , 其步骤如下 : (1) 求出采样系统的特征方 程D(z) 0 (2) 进行 ω变换 , 整理后得 D(ω) 0 判据判别采样系统的稳 定性 (3) 应用 Routh 例1.. 设闭环采样系统的特征方程为D(z)=45z3-117z2＋119z－39=0,判断其稳定性.
0.732 lim ( z 1)G ( z ) 0.623 T z 1 lim ( z 1) G ( z ) 0 T 2 z 1 1 2
例2：试计算如图所示系统，在输入
1 r (时的稳态误差。 t) 1 t t 2 2
-Ts 1 e 解：G ( z ) Z[ s s(sK ] 1) (1 - z -1 )Z[ K s 2 (s 1) ]
(1)输入信号为单位阶跃函数
E(S) R(S) - T
C(S) G(S)
r(t) 1(t), R(z) z 1 z z 1 1 1 e ss lim lim 1 G ( z ) K P z 1 1 G ( z ) z 1 ( z 1) K P lim [1 G(z)] 位置误差系数 z 1
1T=0.25s,求能使系统 G (，采样周期 s)
G(s) C(s)
K s ( s4)
K1 解:G ( z ) Z [ s ( s 4 ) ]
R(s)
- T
K1 K1 (1 e 4T ) z 1 1 4 Z[ s - s 4 ] 4 ( z 1)( z e 4T ) K1 4T ( 1 e )z C(z) G( z) 4 R(z) 1 G ( z ) K1 4T 4T ( z 1)( z e ) 4 (1 e )z K1 4T 则 1 G(z) (z - 1)( z e ) 4 (1 e )z 0 K1 (z - 1)(z - 0.368) 4 (1 0.368) z 0 1 令 z -1 代入上式得 1 1 1 ( -1 - 1)( -1 - 0.368) 0.158K1 -1 0 4T
(2)
当 1时 对应s平面的左半部 | z | e T 1 故对应于单位圆的内部 当 1时 对应s平面的右半部 | z | e T 1 故对应于单位圆的外部
[Z ]
(3)
结论：s平面的稳定区域在z平面上的影像是单位圆内部区域
二.离散系统稳定的充要条件
G G ( z) C(z) 1 2 R(z) 1G G H ( z ) 1 2



1 G(z) 0, 并代入 2.33 3 3.68 2
z
1 1
得
1.65 0.34 0 1.65 0.34 0 0

3 2
2.33 3.68 1.43 0.34

1 0
系统是稳定的
例3:设采样系统的方框图如图所示,其中 稳定的K1值范围.
两边同乘以 (ω - 1)2 并整理得 0.158K1 ω 2 1.264ω (2.736 0.158K 1 ) 0 ω2 ω1 ω0 0.158K1 1.264 2.736- 0.158K1 2.736- 0.158K1 0 2.736- 0.158K1 0
0.158K1 0 ,
2 lim ( z 1) G ( z ) T 2 z 1
稳态误差终值
输 入
系统类型 0型系统 1型系统 2型系统 3型系统
r(t)=1(t)
1 kp
r(t)=t
r (t ) 1 2t
2

T0 kv
0


T2 ka
0 0 0
0
0
例1.右图所示系统中的参数a=1,k=1,T=1, 试求在r(t)=1(t),r(t)=t及r(t)=t2/2时 的稳态误差.
2 z(z 1) T 2 1 r ( t ) 2 t , R(z) 2 ( z 1)3 T 2 z(z 1) ( z 1) 2 ( z 1)3 T2 1 lim Ka 1 G( z) z 1 ( z 1) 2 G ( z )
e ss lim z 1 Ka 1
解得 : 0 K 17.3
四、离散系统的稳态误差 稳态误差计算
e ss lim e ss ( t ) lim ( z 1) E ( z ) t z 1 R(z) E(z) 1 G ( z ) ( z 1) R ( z ) e ss lim z 1 1 G ( z )
z
(2)输入信号为单位斜坡函数
r(t) t, R(z)
Tz (z -1)2 Tz (z -1)2 T 1 lim ( z 1) G ( z ) K v 1 G ( z ) z 1
( z 1) e ss lim z 1 Kv 1
(3)输入信号为单位抛物线信号
lim ( z 1)G ( z ) 速度误差系数 T z 1

-Ts 400 2 (1 e ) 2 (1 0.1s )(1 0.05s ) s 2 ( s 10)( s 20)

-1 2Tz 0.3 z 0.4 z 0.1z (1 - z ) (z -1)2 z 1 z e10T z e20T 0.4 ( z 1) 0.1( z 1) 0.4 z -1 0.3 z 0.135 z 0.0185
(1 - z
-1
K ] )Z[ K - K s s 1 2 s
(T 1 e T ) z (1 Te T e T ) K (z - 1)(z - e T )
可见，系统是Ⅰ型系统
K P lim 1 G ( z ) 1 G (1) z 1 Kv 1 lim ( z 1)G ( z ) K T z 1