河北省唐山一中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设复数z 满足1+2,ii z=则z 等于 （ ） .A 2i -+ .B 2i -- .C 2i - .D 2i +2．已知函数()ln ,f x x x =-则()f x 的单调减区间是（ ）.A ()1,-∞ .B ()01, .C ()()01,,-∞+∞和 .D ()1+∞，3．设xf x tdt ()sin ,=⎰则[()]f f 2π的值等于 （ ）.A 1cos1-.B 1.C cos1- .D 1-4.函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为 （ ）.A (0,3) .B (,3)-∞ .C (0,)+∞ 302.(,)D5.设111(1)(1)(1),1(,,)M a b c a b c a b c=---++=且均为正数，由综合法得M 的取值范围是（ ）.A 108⎡⎤⎢⎥⎣⎦， .B 118⎡⎫⎪⎢⎣⎭， .C []18， .D [)+8∞，6.已知2()(1),(1)1(),()2f x f x f x N f x *+==∈+猜想()f x 的表达式为 （ ）.A 4()22xf x =+ .B 2()1f x x =+ .C 1()1f x x =+ .D 2()21f x x =+ 7．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ） .36种A .48种B .72种C .96种D8.若20112011012011(12)(),x a a x a x x R -=+++∈则20111222011222a a a +++的值为 （ ）.2A .0B .1C - .2D -9.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，问这2张都是假钞的概率是 ( ) .A 215 .B 217 .C 119 .D 173810．对于变量y x 与的10组统计数据的回归模型中，相关指数20.95R =，又知残差平方和为.51203，那么1021()ii yy =-∑的值为 （ ）.A .62410 .B .02416 .C .02538 .D .8253018．已知随机变量X 服从正态分布(3,1),(24)0.6826,(4)且则N P X P X ≤≤=>=( ).A .10585 .B .10586 .C .10587 .D .0341312．已知函数()ln f x x =，21()()2g x x a a =+为常数，直线l 与 函数(),()f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 图像的切点的横坐标为1，则a 的值为 ( ).A 1 .B 12-.C 1- .D 2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．已知实数,m n 满足11mni i=-+，则复数z m ni =+的模z = _______________ 14. 小李练习射击，每次击中目标的概率为13，用ξ表示小李射击5次击中目标的次数，则ξ的均值E ξ与方差D ξ的值分别是______________________.15．定积分1-=⎰___________.16．当012,,a a a 成等差数列时，有01220;a a a -+=当0123,,,a a a a 成等差数列时，有0123330;a a a a -+-=当01234,,,,a a a a a 成等差数列时，有+012344640;a a a a a -+-=由此归纳，当 012,,,,n a a a a 成等差数列时，有012012(1)0n nn n n n n C a C a C a C a -+-+-=.如果012,,,,n a a a a 成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）一机器可以按各种不同的速度运转,其生产物件有一些会有缺点,每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化,用x 表示转速(单位转/秒),用y 表示每小时生产的有缺点物件个数,现观测得到(,)x y 的4组观测值为(8,5),(12,8),(14,9),(16,11).(1)假定y 与x 之间有线性相关关系,求y 对x 的回归直线方程.(2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10,则机器的速度不得超过多少转/秒?(精确到1转/秒)(参考公式1122211()(),().nni i i ii i nni ii i x x y y x ynx y b x x xnxa y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑)18.（ 本小题满分12分）已知2()(1)1xx f x a a x -=+>+ （Ⅰ）证明函数()f x 在()1,-+∞上是增函数； （Ⅱ）用反证法证明方程()0f x =没有负数根.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项11a =，公比为q 的等比数列，（Ⅰ）证明：11(,,).k k n n kC nC k n N k n -*-=∈≤（Ⅱ）计算：12311212312()()()().nn n n n n a C a a C a a a C a a a C n N *++++++++++∈20．（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116．（Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21．（本小题满分12分）由下列各个不等式：11,21111,23111131,23472111112,23415>++>+++++>+++++>你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.22．（本小题满分12分）设211()()ln()(),f x x x ax x a R =++--∈ （Ⅰ）若0,a =求函数()f x 的极值点及相应的极值；（Ⅱ）若对任意00(,),()x f x ∈+∞<恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：（共12×5=60分） CDADD BCCBA CB二、填空题：（共4×5=20分）14.51039，； 15.π；16.12(1)0121.n n n n n nC C C C n a a a a --⋅⋅⋅⋅=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 【解】(1)设回归直线方程为y b =+,125825.,.x y ==,44211660438,.ii i i i x x y ====∑∑于是2438412582551660412570..,.b -⨯⨯==-⨯ 516825125707..a y bx =-=-⨯=-所以所求的回归直线方程为516707y x =-. 6分(2)由516707y x =-≤10,得76051x ≤， 即机器的速度不得超过14转/秒.10分18.（本小题满分12分） 【证明】（Ⅰ）23()ln (1)x f x a a x '=++，且已知1,1a x >>-，2ln 0,(1)0,xa a x ∴>+>()0f x '∴>，故函数()f x 在()1,-+∞上是增函数.（注：也可以用单调性定义证明）6分（Ⅱ）假设存在000(1)x x <≠-使0()0f x =，则0002.1x x ax -=-+ 00001,x x a<<<由得故002011x x -<-<+，解得：012,2x <<显然与00x <矛盾，所以使0()0f x =的0x 不存在，即方程()0f x =没有负数根. 12分19．（本小题满分12分）【证明】（Ⅰ）11!(1)!.!()!(1)![(1)(1)]!k k n n n n kC k n nC k n k k n k ---=⋅=⋅=⋅-----故等式成立. 3分【解】设12(),k k k n b a a a C =+++(i)当1q =时，11,k k k n n b kC nC --==122kn n n n n C C kC nC ∴=+++++原式012111111()2.n n n n n n n C C C C n ------=++++= 6分(ii)当1q ≠时，111,111k k kk k k n n n q b C C q C q q q-==----1212211()()11n n nn n n n n n C C C qC q C q C qq∴=+++-+++--原式=112(1)(21)[(1)1].111n n n nq q q q q-+--+-=---11分故=12, 1.2(1), 1.1n nn n q q q q -⎧⋅=⎪⎨-+≠⎪-⎩原式12分20．（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）P （乙投球2次均未命中）=p （乙投球2次命中0次）()()2002210116P C p p ==-=， ∴()21116p -=，114p -=，∴34p =．4分（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3，则()() 0 0 0P P ξ⋅==甲中次乙中次020213111124421632C ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()() 0 1 1 0 1P P P ξ⋅⋅==+甲中次乙中次甲中次乙中次11021022131131317244244163232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅⋅+⨯⋅⋅=+=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()() 0 2 1 1 2P P P ξ⋅⋅==+甲中次乙中次甲中次乙中次201121221311313915244244163232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅⋅+⨯⋅⋅=+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()() 1 2 3P P ξ⋅==甲中次乙中次222131924432C ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列为：10分∴171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分21.（本小题满分12分）【解】根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为： 11111().234212nnn N *+++++>∈- 4分用数学归纳法证明如下： (1)当n =1 时112>,猜想成立. 5分(2)假设当时n k =猜想成立，即11111,234212k k+++++>-6分则当1n k =+时，11111123421k ++++++-=1111123421k +++++- +111122121k k k +++++-2k >+111122121k k k +++++-2k>+1112111222k k k k ++++++个=121,222k k k k +++= 10分这就说明n k =猜想也成立，由（1）（2）知，猜想对一切n N *∈都成立.12分22．（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）()f x 的极值点为0，相应的极小值为00().f =（过程略） 4分（Ⅱ）12()ln(),f x x ax '=+- 设()()m x f x '=则1212211(),ax a m x a x x -+-'=-=++ ① 当0a ≤时，0(),m x '>则()()m x f x '=在0(,)+∞上为增函数，所以00()(),f x f ''>=所以()f x 在0(,)+∞上为增函数，00()(),f x f ∴>=与0()f x <恒成立矛盾.② 当0a >时，12221()ax a m x a x --'=-⋅+， 若11202,a a -≤≥即时，0(),m x '<则()()m x f x '=在0(,)+∞上为减函数， 所以00()(),f x f ''<=所以()f x 在0(,)+∞上为减函数，00()(),f x f ∴<=满足题意.若120a ->，即102a <<时，若1202(,)ax a-∈，则0(),m x '> 则()()m x f x '=在1202(,)aa-上为增函数，从而有00()(),f x f ''>= 所以()f x 在1202(,)aa-上为增函数，00()(),f x f ∴>=与0()f x <恒成立矛盾. 综上所述，实数a 的取值范围.是12,.⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12分。