唐山一中2019届高三冲刺卷(一)高三数学理科试卷注意事项:1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。

2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔 把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

21.已知集合 A={x|x -2x1 0},1[J)U 仆)本，则不同的赠送方法共有(.选择题：本大题共12小题，每小题5分,60分.B . (1,+ g )C . 2.已知0 :::b ：：： a ：：： 1，则在 a b ,b ab 中最大值是 a bD 、b b 3.设复数 1 _iz(1 i)2，则(1z)9的二项展开式的第1 i7项是( )A . - 84B . —84iC . 36D .-36i4.设x 为区间〔-2,2〕］内的均匀随机数,则计算机执行下列程序后INPUT % 输出的y 值落在区间 丄3内的概率为〔2’」 IF x<=0 THEN 代3B.5ELSEC.1y 二 2 恢+1 END IF15.在正项等比数列g 中，若3a 1,2a 3,2a 2成等差数列，a 2016一竝18的值为()a 2015 - a 2017PRINTA. 3或 TB. 9或 1 6.某同学有同样的画册 2本， 同样的集邮册C. 3 3本,D. 9从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1B . 10 种C . 18 种D . 20 种7•过点P （ -1, -1）且不垂直于y 轴的直线I 与圆M : X 2 • y 2 -2x - 3 = 0交于A, B 两点，点C 在 圆M 上，若:ABC 是正三角形，则直线I 的斜率是（ ） 3 3 2 4 A.B.C.D.-42338.已知等边三角形 A B C 中，D 是线段A C 的中点，D E _A B ，垂足为E ,F 是线段B D的中点，贝y DE 二（ )A_3B^ + 5FCBC. ^BD - 31 3 叫-FCD -- BD + 上 FC8 48484 8 49.设函数f ( x)( R ）满足 f （ x •二）二f ( x) si nx,当 0 乞 x ：：：二时，f （x ）=0 ,则一23 二、f ()=( )61 A.- B.仝C. 01 D.-2222 210.已知F i , F 2是双曲线E : X- y ^ = 1（a 0,b 0）的左、右焦点，若点 F i 关于双曲线渐近线a b的对称点P 满足.OPF 2 =/POF 2（ O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）A. 5B. 2C.、、3D. 211.三棱锥S-ABC 的各顶点均在球 O 上，SC 为该球的直径， AC 二BC =1,・ACB = 120，三1棱锥S - ABC 的体积为一，则球O 的表面积为（）2A. 4 -B. 6 二C. 8二D. 16■:12. 锐角ABC 中，a,b,c 为角代B,C 所对的边，点G 为ABC 的重心，若AG — BG ，则cosC 的取值范围为（）_4 ）A.「址B. 15丿二•填空题：（本大题共、寸3、13. 边长为a 的等边二角形内任一点到二边距离之和为定值，这个定值等于a ，将这个 2结论推广到空间是：棱长为 a 的正四面体内任一点到各面距离之和等于______________ 14.［（U4-x 2 +x ）dx 的值等于 ______________|4堂 53」c." 12丿D.• 3丿4小题，每小题5分，共20分）x _115.已知x , y满足」x+y兰4 ，且目标函数z = 2x + y的最大值为7,最小值为4，则ax by c _ 016.已知过抛物线C : y2= 4x的焦点F且垂直于x轴的直线与抛物线C相交于A, B两点，动直线I : x =ty - n(n = 0)与抛物线C相交于M ,N两点，若则直线I与圆(x—2)2+(y+2)2=9相交所得最短弦的长度为______________________三•解答题：本大题共6小题，共70分.117. 已知数列ta n!满足玄1 , 2a“ - a*」=a*色」n —2, n二N , a n』0 •4f 1］(1 )证明数列 1 (n・N”)为等比数列，求出：aj的通项公式；◎J2(2)数列；.aj的前n项和为T；,求证：对任意n • N ”，「：：：.318. 如图，在三棱锥P - ABC 中，PA _底面ABC , AB =2,AC =4, BAC = 120 , D 为BC 的中点.(1)求证：AD _ PB ；(2)若二面角A - PB - C的大小为45：，求三棱锥P-ABC的体积.19. 某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组［75,80),第2组［80,85),第3组［85,90)，第4组［90,95),第5组［95,100］得到的频率分布直方图如图所示(1 )分别求第3, 4, 5组的频率；(2)若该校决定在第3, 4 , 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；②根据直方图试估计这100名学生成绩的平均分.(同一组中的数据用改组区间的中间值代表)2x20.已知椭圆C: y2=1, F1, F2为椭圆的左、右焦点，点P在直线l:x ^2上且不在x轴上，直线PF|, PF2与椭圆的交点分别为A, B和C, D , O为坐标原点.1 3(1)设直线PF n PF2的斜率为k1,k2，证明：2 ；(2)问直线I上是否存在点P，使得直线OA,OB,OC,OD的斜率灯人，k0B,k O c,心。

满足k oA - k0B - k oC k o^0 ?若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由221.已知函数f(x)=ln x ax (a 2)x 1(a =R)(1 )讨论函数f (x)的单调性；(2)设a Z，若对任意的x .0, f(x)乞0恒成立，求整数a的最大值；(3)求证：当x 0时，e x「xln x 2x3「x2 x -1 0 .选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.I x = 2 -「；3 cos t22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(〉是参数)，直线l的方程I y = , 3 sin 二为y=kx，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系•(1)求曲线C的极坐标方程；(2)曲线C和直线l交于A, B两点，若OA + OB = 2 J3，求k的值•23. (本小题满分10分)选修4—5 :不等式选讲已知函数f (x) = x+2 - x-2 + m (m^R).(1 )若m=1，求不等式f(x)_0的解集；(2)若函数g(x) =f(x) -x有三个零点，求实数m的取值范围.2唐山一中2019届高三冲刺卷（一）高三数学理科答案选择题DCACC BDCAB DB填空题13、14. n + 2 15. -2 16. 4三、解答题17. 解析：（1）2 1 1 1由2an -a n 丄-a n a n 丄=0有1, 1 = 2( 1)a a aan 丄~nn _L.数列｛- -1｝是首项为丄-1 =3 ,公比为2的等比数列.a n a11 n _L1 =32 — a na n-3 2n 11.(9分)=][1 Q)1 (])23 2 2/I12n 2 1 24 1 3 2， 31 -1218 •解析：（1）在厶ABC中，由余弦定理得B C =4+ 16-2X 2X 4X COS 120 ° = 28，贝U BO 2羽.设 PA= a ,则点 B (2 , 0 , 0) , D (0 , 3 , 0) , RO , 0 , a ).解法二：分别以直线 AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.因为D 为BC 的中点，贝U BD= CD=[ 7.（2分）因为AD 1 I ^^2—(AB +AC),则 AD 2』(AD AB)24所以AD=3.(4分)因为 A B + A D = 4 + 3= 7= B D ,贝y ABL AD因为PAL 底面 ABC 贝U PAI AD 所以ADL 平面PAB 从而 ADL PB （6分）⑵解法一：因为 ADL 平面 PAB 过点 A 作AE! PB 垂足为 E ,连结 DE 则DEL PB 所以/ AED 为二面角A- PB- C 的平面角.（8分）在 Rt △ DAE 中 ,由已知，/ AED= 45°,贝U AE= AD= 3.（9 分）在 Rt △ PAB 中 ,设 PA= a ,贝U PB= Q AB + P A = Q 4 + a 2.（10 分）因为 ABX AP= PBX AE 贝U 2a = .4+ a 2x 3 ,即4a 2= 3(4 + a 2),解得 a 2= 12 ,所以 PA= a =2 3.(11 分)1 1 1所以 V P-ABC=尹 S" PA = 了 并 2 X 4X sin 120X 2 3= 4.(12 分)所以=（—2, 3, 0） , = （ — 2, 0, a ） . （8 分）设平面PBC 勺法向量为 m r (x , y , z )，则即：-2x +©y =0，—2x + az =0.取 x = 3,则 y = 2,(2)按分层抽样的方法在第 3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人。

①第3组共有0.3 100 = 30，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件 AC 28 1P(A八CT 血，学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率为② 77.5 0.05 82.5 0.35 87.5 0.3 92.5 0.2 97.5 0.1 =87.25. -------------------------- 12 分20. 解析：（1）设P （x0,y 。

），则K 二」，因为点P 不在x 轴上，所以y 。

= 0,X0+1 x°-1又因为 x^ • y 0 = 2，所以 1 -— = x —1 - 3仝^7 = 4 2x 0 二 纽 =2 . -------------------- 4 分k 1 k 2y ° y ° y ° y °因为n r (0 , 1, 0)为平面PAB 的法向量，贝y |cos< m , n 〉| = cos 45| m- n | I m •! n |，解得 a 2= 12,所以 PA= a = 2 3.（11 分）1 1 1所以 V P -ABC = 3X S ^ABC X PA= 3X q x 2 x 4X sin 120X 2 ,3 = 4.（12 分）19.解析: 1)第3组的频率为0.06 5 =0.3 ;第 4 组的频率为 0.04 5 = 0.2 ；第5组的频率为 0.02 5 =0.1---------- 4.3,1452■0.2〔il '设川心5)出伽伽几CXjtYptJ 甘5〉联立直线PF.与椭圆的方程，消无得(2翳+[)F+4朋才乜H由于OA.OB 的斜率存在'所以业工0,判式X 从而展式0,4 因此冷痒+Ae=也+匹二丛竺±12+如刍±li=_ 2*i心I引 却k\ — 2同理可得皿护O MD KD 厨H0丄纭+匕=一^ ..用一1'故加t 心+心+Jt<® = (+屮〉=—2占离二虽亡岁決二h棘T 绘一〕 (卅一1》"；一1)=_ 2(£：如一1}(药 +屉) ' (屛一"4；一1) *若^oi —A QB 卜+ kg J 0 *须有盘】+右"=0或d 克上=1*(D 当島+虽=°时，结合(i >的结论，可得届=一誤所以解得点尸的坐标为(o,2){②当島黒H1时，结合(i 1的结论■可得仪=3或％ — i(jfc 时啟円_1,不満足岛工 Q 舍去-此时直线CD 的方趕为y = 3(x™l)>ift 立方程工+了亠氛得工=屯小=卫_ 斗』 4， 因此综上所述畀前足条件的点P 的坐标分别为(0.2)*(^t y).21.解析：(1) f (x) J 2ax a 2 =(2x 1)(ax 1) &。