唐山一中自主招生2012年卷
姓名___________班级__________学号__________分数___________
1．（22967）已知一次函数y kx b =+，k 从2，－3中随机取一个值，b 从1，－1，－2中随机取一个值，则一次函数同时经过二、三、四象限的概率为( )
A ．13；
B ．23；
C ．16；
D ．12
； 2．（22968）唐山一中迁入新校以来，一直重视环境建设，在讨论某处广场的地砖铺设方案时，有人提出同时用边长相等的正三角形、正方形、正六边形铺设，请你参考在七年级课本上学到的“镶嵌”知识回答：在一个顶点处共需铺设( )块地砖．
A ．3；
B ．4；
C ．5；
D ．6；
3．（22969）关于x ，y 的方程组325x y m x y m
-=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )
A ．m ＜3或m ＞2；
B ．－3＜m ＜2；
C ．m ＞－3；
D ．m ＞2；
4．（22970）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AC ＝4，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE ，CE ，△ADE 的面积为6，则BC 的长为( )
A ．6；
B ．7；
C ．9；
D ．10； A B C D
E
5．（22971）如图，已知双曲线k y x
=(k ＜0)经过直角三角形OAB 斜边OA 的中心D ，且与直角边AB 相交于点C ，若点A 的坐标为(－6，4)，则△AOC 的面积为( )
A ．4；
B ．6；
C ．9；
D ．12；
6．（22972）已知a ，b ，c 都是整数，m a b b c a c =++++-，那么
A ．仅当a ，b ，c 同奇或同偶时，m 是偶数；
B ．m 一定是奇数；
C ．m 一定是偶数；
D ．m 的奇偶性不能确定；
7．（22973）已知平面上三点A (1，2)，B (3，4)，C (2，6)，P 点是平面内一个动点，当PA 2＋PB 2＋PC 2取最小值时，P 点坐标为____________．
8．（22974）某班投篮练习，要求每人投10次，每进1个球得1分，没投进得0分，最终得分情况统计如下：
已知该班学生中，至少得3分的人平均成绩为6分，得分不到
8分的人平均成绩为3分，该班共有____________名学生．
9．（22975）如图所示，正方形ABCD 的边长为2，M 、N 为BD 所在直线上的两点，且AM ＝∠MAN ＝135°，则三角形AMN 的面积为____________．
10．（20891）观察式子特点，写出满足方程2223311x x x x
--=-的所有x 的值____________． 11．（18842）英才辈出的唐山一中前身是永平府中学堂，始建于1902年，到今天已经走过了110年的风雨路程，如果将每个年份的各位数字相加，会得到一个数值，我们定义为相应年份的“永平数”，例如1902年“永平数”为1＋9＋0＋2＝12，那么从1902年到2012年(含1902年和2012年)的所有 “永平数”之和为____________．
12．（5909）计算：02sin 602π++
．
13．（5912）先化简再求值：()222241244
a a a a a a +-÷++--+，其中2a =．
14．（7225）已知关于x 的方程()()
222330x m x m m --+--=，它有两个实数根x 1，x 2，设t ＝2212x x +，
求t的取值范围；
15．（7226）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上E处测得∠AEP ＝70°，∠BEQ＝30°，在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．
(1)求BE的长度；(2)求两个岛屿A和B之间的距离(结果精确到0.1km)( 1.73
≈，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24)
A
B
E F Q
P
16．（7227）如图，在正三角形ABC的两边AB、AC的延长线上分别取点D、E，使得BC＋BD＝CE，且∠DBE＝75°，O为△BDE的外接圆圆心，求证：DO∥BC；
A
B C
D
E
O
17．（7228）为了证明正整数n的相关问题，我们常常使用“数学归纳法”，如下面的例子所示．
例：求证1＋2＋3＋…＋n＝
()1
2
n n+
．
证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝
()
111
1
2
⨯+
=，故等式此时成立；
②假设n ＝k 时等式成立，即1＋2＋3＋…＋k ＝()
12k k +，则当n ＝k ＋1时左边＝1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋
1)＝()
()()()()112111222k k k k k k k +++⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭
＝右边； 这说明n ＝k ＋1时，等式成立．
综合①②可知，对于任意的正整数n ，原等式成立．
这种证明方法的实质类似于“连锁反应”，恰似紧紧站成一列的一队同学，当第一个人突然倒下了就把第二个人也压倒了，以此类推，只要前一个人倒下了就会把下一个人压倒，最终，这队同学就都倒了． 利用这种方法，我们也可以证明如下等式：
求证12＋22＋32＋…＋n 2＝()()
1216n n n ++；
证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝()()
1112116++=，故等式成立；
②假设n ＝k 时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝()()
1216k k k ++，则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋32
＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝…缺失… ＝
()()()1112116k k k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＝右边；
这说明n ＝k ＋1时，等式成立． 综合①②可知，对于任意的正整数n ，原等式成立．
根据上述材料回答：
(1)请写出“缺失”的内容，(提示：缺少不上一步，要补充完整)；
(2)求1×2＋2×3＋3×4＋…＋109×110的值．
18．（9131）如图所示，抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于点O (0，0)与A (4，0)，以OA 为直径作圆M ，过抛物线上一点P 作圆M 的切于上半圆的切线PD ，切点为D ，并与y 轴交于点E ，连接DM 并延长交圆M 于点N ，连接AN 、AD ；
(1)求抛线所对应的函数关系式；
(2)若四边形EOMD 的面积为PD 所对应的函数关系式；
(3)抛线线上是否存在点P ，使得四边形EOMD 的面积等于△DAN 的面积？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由；。