二次函数与相似三角形，主要考查利用相似三角形的性质转化边的比值关系与角度的数量关系，因此要想快速的解决此类问题，必须熟练的掌握相似三角形的性质和判定，而其中最常用的为“两边成比例且夹角相等，两三角形相似”【例1】 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝x2－2x －3顶点D 的坐标为（1，－4）（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形 ，理由如下： 如图1，过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F 在Rt △BOC 中，OB ＝OC ＝3，∴BC 2＝18在Rt △CDF 中，DF ＝1，CF ＝OF －OC ＝4－3＝1，∴CD 2＝2 在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝OB －OE ＝3－1＝2，∴BD 2＝20 ∴BC 2＋CD 2＝CE 2，∴△BCD 为直角三角形（3）如图2，连接AC ，可知Rt △COA ∽Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1∽Rt △COA ∽Rt △BCD例题精讲二次函数与相似三角形求得符合条件的点为P 1（0，21） 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽Rt △COA ∽Rt △BCD 求得符合条件的点为P 2（9，0）∴符合条件的点有三个：O （0，0），P 1（0，21），P 2（9，0） 【例2】 如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋1与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝－x2＋1（2）∴S 四边形ACBD ＝4（3）存在，∵∠ABC ＝∠ABD ＝45°，∴∠DBC ＝∵MN ⊥x 轴，∴∠MNA ＝∠DBC ＝90°BC ＝2，BD23 设M 点的横坐标为m ，则M （m ，－m2＋1）①当点M 在y 轴左侧时，如图2，则m ＜－1ⅰ)若△NMA ∽△BCD ，则MN NA =BCBD即1 12－－－m m ＝232，整理得3m2＋m －2＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝32（舍去）ⅱ)若△NAM ∽△BCD ，则则MN NA =BDBC即1 12－－－m m ＝223，整理得m2＋3m ＋2＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝－2 ∴－m2＋1＝－(－2)2＋1＝－3∴M 1（－2，－3）②当点M 在y 轴右侧时，如图2，则m ＞1ⅰ)若△NMA ∽△BCD ，则AN MN ＝BDBC即1 1 2＋－m m ＝232，整理得3m2－m －4＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝34∴－m2＋1＝－(34)2＋1＝－97∴M 2（34，－97）图2ⅱ)若NAM ∽△BCD ，则MN BDAN BC=即∴1 1 2＋－m m ＝223，整理得m2－3m －4＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝4 ∴－m2＋1＝－42＋1＝－15∴M 3（4，－15）∴存在点M ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似，M 点的坐标分别为：M 1（－2，－3），M 2（34，－97），M 3（4，－15）【例3】 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AB 所在直线为x 轴，过C 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系，此时，A 点坐标为（－1，0），B 点坐标为（4，0）． （1）试求点C 的坐标；（2）若抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过△ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式；（3）点D （1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y ＝－x －1交（2）中的抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为（0，2） （2）即y ＝－21x2＋23x ＋2（3）∵点D （1，m ）在抛物线上， ∴m ＝－21×12＋23×1＋2＝3∴点D 的坐标为（1，3） ∴tan ∠PBD ＝D B D x x y -＝143-＝1，∴∠PBD ＝45°∴BD ＝2(x B －x D )＝2(4－1)＝23联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1y ＝－21x2＋23x ＋2 解得⎩⎨⎧x 1＝－1y 1＝0 ⎩⎨⎧x 2＝6y 2＝－7 ∴点E 的坐标为（6，－7）∴tan ∠BAE ＝E A E x x y +-＝617+＝1，∴∠BAE ＝45°∴AE ＝2(x A ＋x E )＝2(1＋6)＝27假设存在满足条件的点P ，设点P 的坐标为（x ，0） ∵∠PBD ＝45°，∠BAE ＝45°， ∴∠PBD ＝∠BAE若△BPD ∽△ABE ，则有AB PB ＝AE BD ，即54x -＝2723，解得x ＝713∴P 1（713，0） 若△BDP ∽△ABE ，则有AE PB ＝AB BD ，即274x -＝523，解得x ＝－522∴P 2（－522，0） 所以，在x 轴上点B 的左侧存在点P 1（713，0）和P 2（－522，0）， 使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似【例4】 如图，在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x －h )2＋k ．所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求h 、k 的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM 与△ABC 相似．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）∴h ＝－1，k ＝－4（2）△ACD 是直角三角形 （3）存在，由（2）知△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝45° 连接OM ，过M 点作MG ⊥AB 于点G AC ＝18＝23①若△AOM ∽△ABC ，则AC AM ＝ABAO即23AM ＝43，∴AM ＝4233⨯＝429 ∵MG ⊥AB ，∴AG 2＋MG 2＝AM2∴AG ＝MG ＝24292)(＝49，∴OG ＝AO －AG ＝3－49＝43∵M 点在第三象限，∴M 1（－43，－49）②若△AOM ∽△ACB ，则AB AM ＝ACAO即4AM＝233，∴AM ＝2343⨯＝22 ∴AG ＝MG ＝2222)(＝2，∴OG ＝AO －AG ＝3－2＝1 ∵M 点在第三象限，∴M 2（－1，－2）综上①、②所述，存在点M 使AOM ∆与ABC ∆相似，且这样的点有两个，其坐标分别为：139(,)44M --，2(1,2)M --【例5】 如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S ＝36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 坐标为（1，3），动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）对称轴：直线x ＝1解析式：y ＝81x2－41x 或y ＝81(x －1)2－81 顶点坐标：M （1，－81）（2）点A 1（6，3）（3）存在，易知直线AB 的解析式为y ＝43x －23可得直线AB 与对称轴的交点E 的坐标为（1，－43）∴BD ＝5，DE ＝415，DP ＝5－t ，DQ ＝t 当PQ ∥AB 时，DE DQ ＝DBDP∴415t ＝55t -，得t ＝715 下面分两种情况讨论：设直线PQ 与直线AB 、x 轴的交点分别为点F 、G ①当0＜t ＜715时∵△FQE ∽△F AG ，∴∠FGA ＝∠FEQ ∴∠DPQ ＝∠DEB ，∴△DPQ ∽△DEB ，∴DB DQ ＝DEDP∴5t ＝4155t -，得t ＝720＞715，∴t ＝720舍去图1图2②当715＜t ＜813时∵△FQE ∽△F AG ，∴∠F AG ＝∠FQE ∵∠DQP ＝∠FQE ，∠F AG ＝∠DBE ∴∠DQP ＝∠DBE ，∴△DPQ ∽△DEB ，∴DB DQ ＝DEDP∴5t ＝4155t ，得t ＝720故当t ＝720秒时，使直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似 （注：未求出t ＝715能得到正确答案不扣分） 【例6】 如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）此抛物线的解析式为y ＝－21x2＋25x －2．（2）存在．如图，设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标为－21m2＋25m －2． 当1＜m ＜4时，AM ＝4－m ，PM ＝－21m2＋25m －又∵∠PMA ＝∠COA ＝90° ∴①当PM AM ＝OCOA ＝12时，△APM ∽Rt △ACO ．即4－m ＝2(－21m2＋25m －2)，解得m 1＝2，m 2＝4（舍去）．∴－21m2＋25m －2＝－21×22＋25×2－2＝1 ∴P (2，1)． ②当PM AM ＝OAOC ＝21时，△APM ∽Rt △CAO ． 2(4－m )＝－21m2＋25m －2，解得m 1＝4（舍去），m 2＝5（舍去）．∴当1＜m ＜4时，P (2，1)． 同理可求出当m ＞4时，P (5，－2)． 当m ＜1时，P (－3，－14)．综上所述，符合条件的点P 为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)．【例7】 如图，二次函数的图象经过点D (0，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使P A+PD最小，求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】⑴∴二次函数的解析式为：y(x-4)2⑵∵点A、B关于直线x=4对称，∴P A=PB，∴P A+PD=PB+PD≥DB∴当点P在线段DB上时P A+PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO∴PM BMDO BO=∴397PM==，∴点P的坐标为(4)⑶由⑴知点C(4，，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o∴QNBN=3，ON=10，此时点Q(10，，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，，经检验，点(10，与(-2，都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10，或(-2，或(4，．【例8】 如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，其中0m >．（1）已知直线l：y =，将直线l 沿x 轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用含m 的代数式）后过点A ；（2）设直线l 平移后与y 轴的交点为B ，若动点Q 在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 相似，且相似比为2？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）右；m（2）由题意点A （m ，0），将其代入y b =+，得b = ∴此时直线l的解析式：y =， 点B （0）以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 相似，且相似比为2，共有以下四种情况， ①90PQA ∠=︒， 当2PQ AQBO AO==时，可得,2PQ AQ m ==∴(,2)P m m --，代入抛物线解析式得：22(),0m m m m -=---> 解得16m =，1)3P -②90PQA ∠=︒，当2PQ AQAO BO==时，可得2,PQ m AQ ==∴(2,)P m m --，代入抛物线解析式得：2(2),0m m m m -=--->解得m =∴(3)P - ③90QPA ∠=︒，当2PQ APAO BO==时，可得2,PQ m AP == 过P 作PH AQ ⊥于H，则,3PH AH m =∴(,3)P m m -，代入抛物线解析式得：23(),0m m m m -=--> 解得1m =，所以(13)P - ④90QPA ∠=︒，当2PQ APBO AO==时，可得,2PQ AP m == 过P 作PH AQ ⊥于H，则,PH AH m =∴(,)P m m -，代入抛物线解析式得：2(),0m m m m -=--> 解得13m =，∴1)3P -综上，符合条件的点共有四个：1)3-，(3)-，(13)-，1)3-【例9】 如图，已知点A ()24-，和点()10B ，都在抛物线22y mx mx n =++上． （1）求m n 、；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，若四边形AABB''为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB '的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B C D '、、为顶点的三角形与ABC △相似． 【答案】（1）443m n =-=， （2）如图，由点A ()24-，和点()10B ，， 可得5AB =．因为四边形AABB''为菱形， 所以5AA BB AB ''===．因为()2248416413333y x x x =--+=-++，所以原抛物线的对称轴1x =向右平移5个单位后，对应的直线为4x =． 因此平移后的抛物线的解析式为()2416433y x =--+． （3）由点()24-，和点()60B '，，可得AB '= 如图，由AM CN ∥，可得B N B CB M B A''=''，即28．解得B C '．所以AC =根据菱形的性质，在ABC △与B CD '△中，BAC CB D '∠=∠①如图，当AB B CAC B D '='，解得B D '=3． 此时3OD =，点D 的坐标为()30，． ②如图，当AB B D AC B C '='，解得B D '=53． 此时133OD =，点D 的坐标为1303⎛⎫⎪⎝⎭，Page 11 of 11。