则约束方程为：
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
3、约束的分类 约束按其不同方面的性质可作如下分类： （1）完整约束与非完整约束
a 完整约束（几何约束）：只限制质点空间位 置的约束，即不含有对速度限制的约束。
约束表现为质点坐标的函数
x 2 y 2 z 2 (ct)2 或 x 2 y 2 z 2 (ct)2
b 不可解约束：从两侧限制系统运动的约束， 即双向约束
如甲虫始终在球面上运动 x2 y2 z2 R2
x 2 y 2 z 2 (ct)2
二、自由度
对只受完整约束的系统，唯一的确定系统位 置所需独立变量的数目称为系统的自由度。
第三章 分析力学
约瑟夫·路易斯·拉格朗日
哈密顿，W．R．
（Joseph-Louis Lagrange） (Hamilton，William Rowan)
1735~1813
1805~1865
目录
§3.1 引 言 §3.2 约束、自由度、广义坐标 §3.3 可能位移、实位移、虚位移 §3.4 理想约束、虚功原理 §3.5 拉格朗日力学 §3.6 哈密顿正则方程和运动积分
对于一个有 n 个质点的力学体系，有 3n 个坐
标，如有 m 个完整约束（几何约束）
f (r1, r2 , , rn , t) 0
1,2,, m
f=3n-m
这时只需 f 个独立变数就可将体系位形唯一
确定即可选 f 个变量来描述体系的运动
q1 , q2 , q f
这 f 个独立变量称广义坐标。
可概括为下述力学问题
考虑 n 个质点的质点组
第 i 个质点受到已知主动力—— Fi ，约束未知力—
— Ri
则
mi ri
Fi
Ri
i=1，2，…n
n 个矢量方程 3n 个标量方程，Fi 已知，但是 Ri 未知，
这又增加了新的未知数，但实 际问题常不需求出 Ri ，而
是要求出运动，为此从分析 Ri 产生的原因入手。以下按
§3.7 相空间·刘维定理 §3.8 哈密顿原理 §3.9 泊松括号和泊松定理
§3.1 引 言
1、分析力学是力学发展的新阶段 这一章的内容历史上称做分析力学
（Analytical Mechanics），特点强调从纯分析的 方法发展了力学理论。
工业革命后提出的大量复杂的机械运动问题 推动了力学的发展，遇到了大量受有约束的多物 体体系的问题。约束是对物体运动施加的限制。 分析力学就是从分析约束 constraints 入手提出 解决力学问题的新途径和方法。 分析力学是力学理论的深入和发展，更深入的揭 示了机械运动的规律。
（3）广义坐标必须是能完全确定系统的位形 的独立变量。例如质点被约束在抛物面上运动， 只需两个广义坐标，取三个不独立，当选柱坐标 下的坐标变量为广义坐标时，由于约束方程 z kr2 ，可选 (r, )，或 (z, ) 为广义坐标，但不能选 (r, z) 为广义坐标。所选的广义坐标描述系统运动 时，应尽可能简洁明了，使问题简化
y R
这种积分成完整约束的约束仍称为完整约束。
（2）稳定约束和不稳定约束
a 稳定约束：不依赖于时间的约束
f (r1, r2 , , rn ) 0
b 不稳定约束：依赖于时间的约束
f (r1, r2 , , rn , t) 0
又例质点被限制在半径变化的球面上运动， 半径为
R R0 bt
例，一个有 n 个质点构成的力学系统，需 3n 个独立坐标确立其位置，因此自由度 f=3n。若受 有 m 个完整约束，每个约束方程都和坐标相联系。 从而独立数目减小，则 f=3n-m。
对多质点与物体系统一般用“位形”（位置和 形状）表示其位置，自由度是力学体系本身特征 决定与坐标选择无关。
三、广义坐标
f (x, y, z) 0
f
(x,
y,
z,
t)0Biblioteka 如刚体| ri rj | 常 使刚体形状保持不变。
某些约束，虽然约束方程显含速度但能化
成几何约束方程属完整约束。
例如：圆盘在竖直平面内沿水平直线作纯滚 动，圆盘质心速度（ x, y ）与转动角速度 满足
约束方程
x R
y
0
分别积分得
x R 常
分析 Ri →分析约束→寻求解决问题的途径
§3.2 约束、自由度、广义坐标
一、约束及其分类
1、约束：对物体空间位置和运动速度所施加的 限制条件。 例：质点被限制在球面上运动，则其空间坐标 x， y，z 每时每刻必须满足
x2 y2 z2 R2
f (x, y, z) x2 y 2 z 2 R2 0