北师大必修4《平面向量》测试题及答案
一、选择题
1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1
B.x=3
C.x=
2
9
D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ）
B.(-
k 5,-k
4) C.(-10,2)
D.(5k,4k)
3.若点P 分AB 所成的比为43
，则A 分BP 所成的比是（ ） A.
7
3
B. 37
C.- 37
D.-7
3
4.已知向量a 、b ，a ·a =-40，|a |=10,|b |=8，则向量a 与b 的夹角为
（ ）
A.60°
B.-60°
C.120°
D.-120°
5.若|a-b|=32041-,|a |=4,|b |=5，则向量a ·b =（ ） A.103
B.-103
C.102
D.10
6.已知a =(3,0),b =(-5,5)，则a 与b 的夹角为( ) A.
4
π
B.
4
3π C.
3
π
D.32π
7.已知向量a =(3,4),b =(2,-1)，如果向量a +x ·b 与b 垂直，则x 的值
为（ ）
A.
3
23 B.
23
3
C.2
D.-
5
2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-
2
1) 9.设四边形ABCD 中，有DC =2
1
AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（）
A.y=x+10
B.y=x-6
C.y=x+6
D.y=x-10
11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（）
A.(2,-1)
B.(-2,1)
C.(-2,-1)
D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（）
A.(2a,b)
B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a)
D.(a-b,b-a)
二、填空题
13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为25，则b= 。
14.已知：|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°，要使λb-a垂直，则λ= 。
15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。
16.在菱形ABCD中，（AB+AD）·（AB-AD）= 。
三、解答题
17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB 的中点，已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。
18.已知非零向量,a b 满足||||a b a b +=-,求证: a b ⊥
19.设e 1与e 2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a =2e 1+e 2,b =-3e 1+2e 2的夹角θ。
20.以原点O 和A （4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，求点B 的坐标和AB 。
21. 已知||2a = ||3b =,a b 与的夹角为60o
, 53c a b =+,
3d a kb =+,当当实数k 为何值时，⑴c ∥d ⑵c d ⊥
22.已知△ABC 顶点A （0，0），B （4，8），C （6，-4），点M 内分AB 所成的比为3，N 是AC 边上的一点，且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半，求N 点的坐标。
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.A
6.B
7.D
8.A
9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结AC
DC =
21AB =2
1
a ,…… AC =AD +DC =
b +21
a ,……
BC =AC -AB = b +21a -a = b-2
1
a ,……
NM =ND +DM =NA +AD +DM = b-4
1
a ,……
MN =-NM =4
1
a -
b 。
……
18. 证：
()()2
2
22
a b a b a b a b a b
a b +=-⇒+=+⇒+=-
2
2
2
2
220a a b b a a b b a b ⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅= 又,a b 为非零向量
a b ⇒⊥
19.[解] ∵a =2e 1+e 2,∴|a |2
=a 2
=(2e 1+e 2)2
=4e 12
+4e 1·e 2+e 22
=7,∴|a |=7。
同理得|b|=7。
又a ·b ==（2e 1+e 2）·(-3e 1+2e 2,)=-6e 12+ e 1·e 2+2e 22
=-2
7
， ∴ cos θ=||·||·b a b a =7727
⨯-
=-2
1,∴θ=120°. 20.[解] 如图8，设B(x,y),
则OB =(x,y), AB =(x-4,y-2)。
∵∠B=90°，∴OB ⊥AB ，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x 2
+y 2
=4x+2y 。
①
设OA 的中点为C ，则C(2,1), OC =（2，1），CB =(x-2,y-1) ∵△ABO 为等腰直角三角形，∴OC ⊥CB ，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。
②
解得①、②得⎩⎨⎧==311
1y x 或⎩⎨⎧-==1322y x
∴B(1,3)或B(3,-1)，从而AB =(-3,1)或AB =（-1,-3） 21. ⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得14
29-=k
22.[解] 如图10，
ABC
AMN S S △△=BAC AC AB BAC
AN AM ∠∠sin ·||·||2
1
sin ·||·||21
||·||AC AB AN AM 。
∵M 分AB 的比为3||AB =4
3
，则由题设条件得 21=34||AC AN ||AC AN =32||AC AN =2。
由定比分点公式得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=+-⨯+==+⨯+=.3821)4(20,42
1620N N y x
∴N(4,-3
8
)。