高中数学必修4测试题
一.选择题: 1.
3
π
的正弦值等于 ( ) (A )
23 (B )21 (C )23- (D )2
1- 2.215°是
( )
(A )第一象限角 (B )第二象限角 (C )第三象限角
(D )第四象限角
3.角α的终边过点P (4,-3),则αcos 的值为
( )
(A )4
(B )-3
(C )
5
4
(D )5
3- 4.若sin α<0,则角α的终边在
( )
(A )第一、二象限
(B )第二、三象限
(C )第二、四象限
(D )第三、四象限
5.函数y=cos2x 的最小正周期是
( )
(A )π (B )
2
π (C )
4
π (D )π2
6.给出下面四个命题:① =+;②=+B ;③=;
④00=⋅AB 。
其中正确的个数为
( )
(A )1个
(B )2个
(C )3个
(D )4个 7.向量)2,1(-=,)1,2(=,则
( )
(A )∥
(B )⊥
(C )与的夹角为60°
(D )与的夹角为30°
8. ( ) (A )cos160︒ (B )cos160-︒ (C )cos160±︒ (D )cos160±︒
9. 函数)cos[2()]y x x ππ=
-+是 ( )
(A ) 周期为
4π的奇函数 (B ) 周期为4
π
的偶函数
(C ) 周期为
2π的奇函数 (D ) 周期为2
π
的偶函数 10.函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( ) (A ))3
22sin(2π
+=x y (B ))3
2sin(2π
+=x y
(C ))3
2sin(2π-=x y
(D ))3
2sin(2π
-
=x y
二.填空题
11.已知点A (2,-4),B (-6,2),则AB 的中点M 的坐标为 ; 12.若)3,2(=a 与),4(y b -=共线,则y = ;
13.若21tan =
α,则α
αααcos 3sin 2cos sin -+= ; 1421==b a ,a 与b 的夹角为3
π
b a b a -+= 。
15.函数x x y sin 2sin 2
-=的值域是∈y ; 三.解答题 16.(1)已知4
cos
5
,且为第三象限角,求sin 的值 (2)已知3tan =α,计算 α
αα
αsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值.
17.已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =,
(1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +. 18. 已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时,
(1) ka b +与3a b -垂直?
(2) ka b +与3a b -平行?平行时它们是同向还是反向?
19.设)1,3(=,)2,1(-=,⊥,∥,试求满足
OC OA OD =+的的坐标(O 为坐标原点)。
20.某港口的水深y (米)是时间t (024t ≤≤,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:
经过长期观测, ()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+ (1)根据以上数据,求出()y f t =的解析式
(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港?
21. 已知(3sin ,cos )a x m x =+,(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b =
(1) 求函数()f x 的解析式; (2) 当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时, (
)f x 的最小值是-4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.
1-10:ACCDABBBCA
11. (-2,-1) 12. -6 13. -3 14. 21 15. [-1,3]
16.解:(1)∵2
2cos
sin 1αα+=,α为第三象限角
∴ 3sin 5
α===- (2)显然cos 0α≠
∴ 4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337
cos αα
αααααααααα---⨯-====++++⨯ 17.解: (1) 1
||||cos602112
a b a b ==⨯⨯=
(2) 22
||()a b a b +=+
所以||3a b +=
18.(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+
(1)()ka b +⊥(3)a b -,
得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==
(2)()//ka b +(3)a b -,得14(3)10(22),3
k k k --=+=-
此时1041
(,)(10,4)333
ka b +=-
=--,所以方向相反。
19. 解:设),(y x =,由题意得:⎩⎨
⎧=--=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅)1,3()2,1(),(0
)2.1(),(0λλy x y x 20. 解:(1)由表中数据可以看到:水深最大值为13,最小值为7,137
102
h +==,
13732
A -==
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9,因此29T πω==,29
π
ω=
, 故2()3sin 109
f t t π
=+ (024)t ≤≤
(2)要想船舶安全,必须深度()11.5f t ≥,即23sin 1011.59
t π
+≥
∴21sin 92t π≥ 2522696
k t k πππππ+≤≤+ 解得:3159944k t k +≤≤+
k Z ∈
又 024t ≤≤
当0k =时,33344t ≤≤;当1k =时,3391244t ≤≤;当2k =时,33
182144
t ≤≤
故船舶安全进港的时间段为(0:453:45)-,(9:4512:45)-,(18:4521:45)- 21.解: (1) ()(3sin ,cos )(cos
,cos )f x a b x m x x m x ==+-+
即22
()
cos cos f x x x x m =+-
(2) 21cos 2()2
x
f x m +=
- 由,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
, 52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,
211
422
m ∴-
+-=-, 2m ∴=± max 11()1222
f x ∴=+-=-, 此时262x ππ+=, 6x π
=.。