Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称
对称 概
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 均对称的结构 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等, 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称, 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 反对称的荷载。 下面这些荷载是对称？ 下面这些荷载是对称？反对称
δ11 X 1 + ∆1 p = 0
δ11 =
144 1800 , ∆1 p = EI EI
X 1 = −12.5(kN )
M = M1 X1 + M p
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§6-5 对称
结构计
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
对称轴上的杆件 弯曲 变形 对称 荷载 反对称 荷载 × √ 轴线 变形 √ × 剪切 变形 × √ 弯矩 轴力 剪力 角位移 沿对称 轴线位 移 √ × 对称轴上的截面 垂直对 称轴线 位移 × √ 约束 力矩 √ × 沿对称 轴约束 力 × √ 垂直对 称轴约 束力 √ ×
× √
√ ×
× √
× √
变形(位移 与约束力是一一对应的 有变形(或位移 则无约束力， 或位移)， 变形 位移)与约束力是一一对应的；有变形 或位移 ，则无约束力，也就 位移 与约束力是一一对应的； 没有约束；反之，无变形(或位移 则有约束力，也就存在约束。 或位移)， 没有约束；反之，无变形 或位移 ，则有约束力，也就存在约束。
P/2
Mp对称 Mp对称
P/2
P/2
Mp反对称 Mp反对称
∆1 p = 0 X 1 = 0 ∆2 p = 0 X 2 = 0
P/2
对称结构在对称荷载作用 只产生对称的内力、 下，只产生对称的内力、 变形和位移， 变形和位移，反对称的内 变形和位移为零。 力、变形和位移为零。 对称结构在反对称荷载作 用下， 用下，只产生反称的内力 变形和位移， 、变形和位移，对称的内 变形和位移为零。 力、变形和位移为零。
P 2
EI EI
P
EI EI EI
EI
P 2 EI 2
P 2
EI=c
Strucural Analysis
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§6-5 对称
结构计
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
【练习】利用对称性选择半结构。 练习】 P EI=c P A B EI=c
对称荷载 P EI EI 原结构 反对称荷载 P EI EI 原结构 EI P P EI EI 半结构 EI P P EI EI 半结构
轴力 对称 梁跨中截面内力 弯矩 剪力 反对称(×) 水平线位移 反对称(×) 梁跨中截面位移 角位移 竖向线位移 对称 轴力 对称(×) 梁跨中截面内力 弯矩 剪力 反对称 水平线位移 反对称 梁跨中截面位移 角位移 竖向线位移 对称(×)
δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1 p = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 p = 0 δ X + δ X + δ X + ∆ = 0 3p 31 1 32 2 33 3
X1 基本未知量 X 2 X 3
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原结构
Strucural Analysis
半结构
§6-5 对称
结构计
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
【练习】利用对称性选择半结构。 练习】 P EI EI EI P EI EI EI EI EI P P EI EI EI EI EI P EI=c
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§6-5 对称
结构计
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
奇数跨对称结构：对称轴上截面的约束既可根据变形特征判别， 奇数跨对称结构：对称轴上截面的约束既可根据变形特征判别，也可根据内力
特征判别。 特征判别。
Strucural Analysis
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§6-5 对称
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
。
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI = C 试用力法求作图示刚架的弯矩图。
【解】利用对称性简化为一次超静定。 利用对称性简化为一次超静定。
对称荷载 P EI EI
A EI EI EI P P EI EI
①中柱无弯矩和弯曲变形； ②结点A无转角和水平线位移（反对 称位移），无竖向线位移（不计 中柱伸缩变形）。 不计中柱伸缩变形，可取消
原结构 反对称荷载 P EI EI EI EI EI P P
半结构
EI EI
EI 2
①中柱有弯矩和弯曲变形—必须保留； ②结点A有转角和水平线位移（反对 称位移），无竖向线位移（对称 位移且不计中柱伸缩变形）。
利用对称性，可将原高阶方程组解耦降阶，化为两个低阶方程( 利用对称性，可将原高阶方程组解耦降阶，化为两个低阶方程(组)
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§6-5 对称
对称结构 对称
X1 = 1
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
§6-5 对称
对称 概
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 均对称的结构
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
刚度不对称 非对称结构
对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等, 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称, 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 反对称的荷载。
∆ 3 p = 0,
Strucural Analysis
X3 = 0
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§6-5 对称
对称结构 对称
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
对称 载
综上所述，将利用对称性简化力法计算的要点归纳如下： 综上所述，将利用对称性简化力法计算的要点归纳如下： ⑴选择对称的基本结构，取对称约束力或反对称约束力作为基本未知量。 选择对称的基本结构， 对称约束力或反对称约束力作为基本未知量。 对称的基本结构 约束力或反对称约束力作为基本未知量 ⑵对称荷载作用下，只考虑对称未知力。（反对称未知力为零） 对称荷载作用下，只考虑对称未知力。（反对称未知力为零） 作用下 对称未知力。（反对称未知力为零 反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力。（对称未知力为零） 作用下 反对称未知力。（对称未知力为零 ⑶反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力。（对称未知力为零） 一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载。 分解为对称荷载和反对称荷载 ⑷一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载。 【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。 试用力法求作图示刚架的弯矩图。 各杆 EI = C 。
根据对称结构的受力特征，在对称或反对称荷载作用下， 根据对称结构的受力特征，在对称或反对称荷载作用下，可以取半结构 计算，另外半结构的内力可通过对称或反对称镜像得到。 计算，另外半结构的内力可通过对称或反对称镜像得到。 半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用 正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。 半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。 判别方法有两种： 判别方法有两种：
§6-5 对称
对称结构 对称
—•cƒ= 计 •cƒ= 简
对称 载
X1 = 1 X2 =1
以图示结构为例推导说明。 以图示结构为例推导说明。 X1 X3 X2 P EI=C 原结构 基本结构 P
M 2图 M 1图
X3 =1
选取对称基本结构、对称和反对称基本未知量。 选取对称基本结构、对称和反对称基本未知量。
对称 载
X3 =1
X2 =1
M 1图
M 2图
M 3图
δ11 X 1 + δ12 X 2 + ∆1 p = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 p = 0 δ 33 X 3 + ∆ 3 p = 0
进一步考虑荷载的对称、反对称性 进一步考虑荷载的对称、
⑴对称荷载作用下 ⑵反对称荷载作用下
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 均对称的结构 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等, 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称, 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 反对称的荷载。 任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加， 任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对 称荷载均为原荷载值的一半。 称荷载均为原荷载值的一半。 P A EI=C