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中考数学专题复习分类练习 相似综合解答题及答案

一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P 是MN上一点,求△PDC周长的最小值.【答案】(1)解:结论:CF=2DG.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,∵DE=AE,∴AD=CD=2DE,∵EG⊥DF,∴∠DHG=90°,∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,∴∠CDF=∠DEG,∴△DEG∽△CDF,∴ = = ,∴CF=2DG(2)解:作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG= ,EG= ,DH= = ,∴EH=2DH=2 ,∴HM= =2,∴DM=CN=NK= =1,在Rt△DCK中,DK= = =2 ,∴△PCD的周长的最小值为10+2 .【解析】【分析】(1)结论:CF=2DG.理由如下:根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,根据中点的定义得出AD=CD=2DE,根据同角的余角相等得出∠CDF=∠DEG,从而判断出△DEG∽△CDF,根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论;(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK,由题意得CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,根据面积法求出DH的长,然后可以判断出△DEH相似于△GDH,根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=,再根据面积法求出HM的长,根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1,在Rt△DCK中,利用勾股定理算出DK的长,从而得出答案。

2.已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等.(1)求实数a,b的值;(2)如图①,动点E,F同时从A点出发,其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动,点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动.当点E停止运动时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒.连接EF,将△AEF沿EF翻折,使点A落在点D处,得到△DEF.①是否存在某一时刻t,使得△DCF为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式.【答案】(1)解:由题意得:,解得:a= ,b=(2)解:①由(1)知二次函数为 .∵A(4,0),∴B(﹣1,0),C(0,﹣2),∴OA=4,OB=1,OC=2,∴AB=5,AC= ,BC= ,∴AC2+BC2=25=AB2,∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.∵AE=2t,AF= t,∴ .又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴∠AEF=∠ACB=90°,∴△AEF沿EF翻折后,点A落在x轴上点D处;由翻折知,DE=AE,∴AD=2AE=4t,EF= AE=t.假设△DCF为直角三角形,当点F在线段AC上时:ⅰ)若C为直角顶点,则点D与点B重合,如图2,∴AE= AB= t= ÷2= ;ⅱ)若D为直角顶点,如图3.∵∠CDF=90°,∴∠ODC+∠EDF=90°.∵∠EDF=∠EAF,∴∠OBC+∠EAF=90°,∴∠ODC=∠OBC,∴BC=DC.∵OC⊥BD,∴OD=OB=1,∴AD=3,∴AE= ,∴t= ;当点F在AC延长线上时,∠DFC>90°,△DCF为钝角三角形.综上所述,存在时刻t,使得△DCF为直角三角形,t= 或t= .②ⅰ)当0<t≤ 时,重叠部分为△DEF,如图1、图2,∴S= ×2t×t=t2;ⅱ)当<t≤2时,设DF与BC相交于点G,则重叠部分为四边形BEFG,如图4,过点G作GH⊥BE于H,设GH=m,则BH= ,DH=2m,∴DB= .∵DB=AD﹣AB=4t﹣5,∴ =4t﹣5,∴m= (4t﹣5),∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣(4t﹣5)× (4t﹣5)= ;ⅲ)当2<t≤ 时,重叠部分为△BEG,如图5.∵BE=DE﹣DB=2t﹣(4t﹣5)=5﹣2t,GE=2BE=2(5﹣2t),∴S= ×(5﹣2t)×2(5﹣2t)=4t2﹣20t+25.综上所述:.【解析】【分析】(1)根据已知抛物线的图像经过点A,以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件,列出方程组求出待定系数的值即可。

(2)①由x=0及y=0时,求出点A、B、C三点的坐标,以及线段OA、OB、OC的长,利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形,用含t的代数式表示出线段AD、AE、AF (即DF)的长,则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似,可证得△AEF也是一个直角三角形,及∠AEF是直角;若△DCF是直角三角形,可分成三种情况讨论:i)点C为直角顶点,由于△ABC恰好是直角三角形,且以点C为直角顶点,所以此时点B、D重合,由此得到AD的长,进而求出t的值;ii)点D为直角顶点,此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角,由此可证得OB=OD,再得到AD的长后可求出t的值;iii)、点F为直角顶点,当点F在线段AC上时,∠DFC是锐角,而点F在射线AC的延长线上时,∠DFC又是钝角,所以这种情况不符合题意.②此题需要分三种情况讨论:i)当点E在点A与线段AB中点之间时,即当0<t≤,两个三角形的重叠部分是整个△DEF;ii)当点E在线段AB中点与点O之间时,即<t≤2时,重叠部分是个不规则四边形,根据S=S△DEF﹣S△DBG可求解。

iii)当点E在线段OB上时,即2<t≤时,重叠部分是个小直角三角形,根据三角形的面积公式,即可求解。

3.在矩形ABCD中,BC=6,点E是AD边上一点,∠ABE=30°,BE=DE,连接BD.动点M 从点E出发沿射线ED运动,过点M作MN∥BD交直线BE于点N.(1)如图1,当点M在线段ED上时,求证:MN= EM;(2)设MN长为x,以M、N、D为顶点的三角形面积为y,求y关于x的函数关系式;(3)当点M运动到线段ED的中点时,连接NC,过点M作MF⊥NC于F,MF交对角线BD于点G(如图2),求线段MG的长.【答案】(1)证明::∵ °, ° ,∴ °∵ ,∴∵∥ ,∴∴ °,∴过点作于点 ,则 .在中,∴∴(2)解:在中,,∴∵a.当点在线段上时,过点作于点 ,在中,由(1)可知:,∴∴∴b.当点在线段延长线上时,过点作于点在中, ,在中, ,∴ ,∴(3)解:连接 ,交于点 .∵为的中点∴ ,∴ .∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ .∵∥∴ ,∴ ,,∵ ,∴ ,又∵ ,∴∽ ,∴,即 ,∴【解析】【分析】(1)过点E作EH⊥MN于点H ,由已知条件易得EN=EM,解直角三角形EMH易得MH和EM的关系,由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解;(2)在Rt△ABE中,由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE,由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上,也可在线段ED外,所以可分两种情况求解:①当点M在线段ED上时,过点N作NI⊥AD于点I ,结合(1)中的结论MN=EM即可求解;②当点M在线段ED延长线上时,过点N作NI'⊥AD于点I ',解RtΔNI′M 和可求得NI'和NE,则DM=NE−DE,所以以M、N、D为顶点的三角形面积y=MD.NI可求解;(3)连接CM,交BD于点N',由(2)中的计算可得MN、CD、MC的长,解直角三角形CDM可得∠DMC的度数,于是由三角形内角和定理可求得∠NMC=,根据平行线的性质可得DMN'是直角三角形,根据直角三角形的性质可得MN′=MD;则NC的长可求,由已知条件易得ΔNMC∽ΔMN′G根据所得的比例式即可求解.,4.如图,点A、B的坐标分别为(4,0)、(0,8),点C是线段OB上一动点,点E在x轴正半轴上,四边形OEDC是矩形,且OE=2OC.设OE=t(t>0),矩形OEDC与△AOB 重合部分的面积为S.根据上述条件,回答下列问题:(1)当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时,求t的值;(2)当t=4时,求S的值;(3)直接写出S与t的函数关系式(不必写出解题过程);(4)若S=12,则t=________.【答案】(1)解:由题意可得∠BCD=∠BOA=90°,∠CBD=∠OBA,∴△BCD∽△BOA,∴而CD=OE=t,BC=8−CO=8− ,OA=4,则8− ,解得t=,∴当点D在直线AB上时,t=(2)解:当t=4时,点E与A重合,设CD与AB交于点F,则由△CBF∽△OBA得,即,解得CF=3,∴S= OC(OE+CF)= ×2×(3+4)=7(3)解:①当0<t≤时,S= t2②当<t≤4时,S=-t2+10t−16③当4<t≤16时,S=t2+2t(4)8【解析】【解答】解:(3)①当0﹤t≤时,如图(1),②当<t≤4时,如图(2),∵A(4,0),B(0,8)∴直线AB的解析式为y=-2x+8,∴G(t,-2t+8),F(4-,),∴DF=t-4,DG=t-8,∴S=S矩形COED-S△DFG=t·③当4<t≤16时,如图(3)∵CD∥OA,∴△BCF∽△BOA,∴∴,∴CF=4-,∴S=S△BOA-S△BCF=(4)由题意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理,得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16(舍去)当S=12时,t=8【分析】(1)首先判断出△BCD∽△BOA,根据相似三角形对应边成比例得出BC ∶BO=CD ∶OA ,根据矩形的性质及线段的和差得出CD=OE=t,BC=8−CO=8- ,OA=4,利用比例式即可得出方程,求解得出t的值;(2)当t=4时,点E与A重合,设CD与AB交于点F,则由△CBF∽△OBA得CF :CB=OA ∶OB ,根据比例式得出方程,求解得出CF的长,根据梯形的面积公式即可算出答案;(3)①当0﹤t≤ 时,如图(1),其重叠部分的面积就是矩形的面积,根据矩形的面积公式即可得出函数关系式;②当<t≤4时,如图(2),利用待定系数法,求出直线AB 的解析式,根据和坐标轴平行的直线上的点的坐标特点及直线上的点的坐标特点分别表示出G,F的坐标,进而表示出DF的长,DG的长,根据S=S矩形COED-S△DFG即可得出函数关系式;③当4<t≤16时,如图(3)根据矩形的性质得出CD∥OA,根据平行于三角形一边的直线截其它两边,所截得的三角形与原三角形相似得出△BCF∽△BOA,由相似三角形的对应边成比例得出BC:BO=CF:OA,根据比例式表示出CF的长,再根据S=S△BOA-S△BCF即可得出函数关系式。

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