分类讨论题类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形,又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中,∠C＝900，AC＝3，BC＝4。

若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是___ __．5。

（上海市）在△ABC中，AB=AC=5,3cos5B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t(t≥0）．(1)试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式;(2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC(如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合）,M是线段DE的中点．（1）设BE=x,△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域；(2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长;（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图,以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3,OC＝2,点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1)直接写出点E、F的坐标；(2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式;（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在,求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．类型之一 直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要。

1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或50°D ．50°或80°2。

（•乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm3。

(江西省）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A′处，(1）求证：B′E=BF；（2)设AE=a ，AB=b, BF=c ，试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系,并给予证明。

参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角,所以要分类讨论:（1)当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°,所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时,则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

故顶角可能是50°或80°.【答案】D 。

2。

【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论，当腰长是3cm,底边长是6cm 时,由于3+3不能大于6所以组不成三角形;当腰长是6cm ，地边长是3cm 时能组成三角形．【答案】D3。

【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，从而可求得B′E=BF；第(2）小题要注意分类讨论.【答案】（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠,在矩形ABCD 中，AD BC ∥，B EF BFE '∴∠=∠,B FE B EF ''∴∠=∠，B F B E ''∴=．B E BF '∴=．（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．证：连结BE,则BE B E '=．由(1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=． AE a =，AB b =，222a b c ∴+=．（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>．证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，AE AB BE +>, a b c ∴+>．4。

【解析】圆与斜边AB 只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB 相切，此时r ＝2。

4；2、圆与线段相交，点A 在圆的内部，点B 在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。

【答案】 3＜r≤4或r ＝2.45.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。

由AB=AC=5,3cos 5B =，可得BC 边上的高AD 为4，圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则AO=3,若O 在BC 下方，则AO=5。

【答案】3或5．6.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论。

【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d ＝11—2t ；当t ＞5。

5时，函数表达式为d ＝2t -11．（2）两圆相切可分为如下四种情况:①当两圆第一次外切，由题意,可得11－2t ＝1＋1＋t,t ＝3;②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝311； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11;④当两圆第二次外切，由题意，可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13．所以，点A 出发后3秒、311秒、11秒、13秒两圆相切． 7。

【解析】建立函数关系实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示。

要求线段的长，可假设线段的长,找到等量关系，列出方程求解。

题中遇到“如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似”，一定要注意分类讨论。

【答案】（1）取AB 中点H ，联结MH , M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2MH BE AD =+．又AB BE ⊥,MH AB ∴⊥． 12ABM S AB MH ∴=△,得12(0)2y x x =+>； （2）由已知得22(4)2DE x =-+以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，1122MH AB DE ∴=+，即2211(4)2(4)222x x ⎡⎤+=+-+⎣⎦． 解得43x =，即线段BE 的长为43； (3)由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似,又易证得DAM EBM ∠=∠．由此可知,另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠;②ADB BME ∠=∠．①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥， ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥， ADB DBE ∴∠=∠．DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠， BED MEB ∴△∽△． DE BE BE EM ∴=，即2BE EM DE =，得222212(4)2(2x x x =+-+-．解得12x =，210x =-(舍去）．即线段BE 的长为2．综上所述，所求线段BE 的长为8或2．8。

【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．【答案】(1)(31)E ，；(12)F ，． (2）在Rt EBF △中，90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴+=+= 设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >， 顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①,当EF PF =时,22EF PF =， 221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，． 24(01)2a ∴=-+．解得2a =．∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52n =-（舍去）． ③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在．综上所述,符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+．（3)存在点M N ，,使得四边形MNFE 的周长最小．如图③,作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F '',分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点． (31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，． FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=． 又5EF = ∴55FN NM ME EF +++=+MNFE 的周长最小值是55。