xk
xn b
o
a
xk-1 xk
xk+1 b
x
I f ( x)dx lim f ( xk )xk
b a n k 0
n 1
I f ( x)dx f ( xk )xk
b a k 0
n 1
5.1 插值型求积公式
a x0 x1 xk xn b
A0 l0 ( x)dx
a b a b b a b
x b xa f ( x) L1 ( x) f (a) f (b) a b ba
x b 1 dx b a a b 2
A1 l1 ( x)dx
a
几何意义：用梯形面 xa 1 dx b a ba 2 积代替被积函数的曲
b b k 0 a k 0 a
n
n
I ( f ) I n ( f ) Ak f ( xk ),
k 0
n
Ak lk ( x) dx
a
b
5.1 插值型求积公式 定义
设有计算 I ( f )

b
a
f ( x)dx 的求积公式
n
I n ( f ) Ak f ( xk ),
n 1 n 1 n 1 h h T I f ( x ) f ( x Tn ( f ) 2 f ( ) n f k (a ) kxk ) f ( kb 1) 取n = 8用复合梯形公式 2 k 0 k 0 k 1 2

b
a
f ( x) g ( x)dx f (x ) g ( x)dx 利用这一定理
a
b
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
x0
x1
x2
5.1 插值型求积公式 辛卜生公式: 取x0=a, x1=(a+b)/2, x2=b, n=2
(1) 牛顿-莱布尼兹公式—0.8670 (2) 梯形公式—0.75
(3) 辛卜生公式—0.8775
(4) 复合梯形公式T4=0.8617
5.3 其它复合求积公式
复合右矩形公式 借用积分中值定理 若f是[a, b]上的连续函数，则存在x∈[a, b]，使得
b

a
f ( x)dx f (x ) (b a)
y y= f(x)
o
a
b
x
分段线性插值--复合梯形法 1. 等分求积区间，比如取步长
ba ，分[a, h n
b]为n
等分，分点为
xk x0 kh ,k = 0, 1, 2,…, n
2. 在区间 [xk, xk+1]上求 I k x
xk 1
k
f ( x)dx
3. 取和值 ，作为整个区间上的积分近似值
n 1 1 h n1 1 T2 n Tn f xk 1/2 [Tn h f (a kh h )] 2 2 k 0 2 2 k 0
复合梯形公式(节点加密) 由 递推 逐渐逼近，达到计算精度即停止。
条件成立
则终止计算并以T2n为定积分
的近似值
教材P68--例5.1
n 1 h Tn ( f ) f (a) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
误差由各小区间梯形误差累加
小区间增多,误差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x1/2
x0
n 1 n 1
x3/2
x1 x2
…
xk
xk 1/2
xk+1
…
xn-1
xn1/2
复合辛卜生公式
ba a b S( f ) f (a) 4 f ( ) f (b) 6 2 每2个节点间增加一个中值节点, 节点数由n→2n. 节距
变为h=(b-a)/2n.
1 记 x2 j 1 ( x2 j 2 x2 j ) 2

b
a
f ( x)dx
1 1 T8 f (0) 2 f 8 2 5 2 f 2 f 8 = 3.13899
1 2f 8
1 2f 4
3 2f 8
1 2
3 2f 4
7 f 1 8

b
a
f ( x) g ( x)dx f (x ) g ( x)dx
aБайду номын сангаас
b
数值积分问题 牛顿―莱布尼兹公式

e
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示
x2
sin x , , 1 x3 ...... x
x
2
原函数表达式过于复杂
b b
I( f )
b
a
ba a b f ( x)dx f (a) 4 f ( ) f (b) 6 2
ba a b f (a) 4 f ( ) f (b) 辛卜生公式： S ( f ) 6 2
误差
精度较梯形高
5.2 复合梯形公式
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得 ---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,· · · ,n), h=(b-a)/n
得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f ( x) f (a) f ' (x )(x a) (x [a, b]) 求右矩形公式的误差估计
j 1
n
x2 j
x2 j 2
h f ( x)dx [ f ( x2 j 2 ) 4 f ( x2 j 1 ) f ( x2 j )] j 1 3
n
展开, 得
n n 1 h S 2 n [ f (a) f (b) 4 f ( x2 j 1 ) 2 f ( x2 j )] 3 j 1 j 1
hh h xx bb xx aa f f( ( x x ) ) L L ( ( x x ) ) f f ( a ( a ) ) fx f( b ( b ) ) I I f x f x f x 2 f x f2 f x k 1 1 kk k k 1/2 k 1/ k 1/2 f kx 1 k 1 aa bb bb aa 44 4 n 1 n 1 h T2 n I k f xk 2 f xk 1/2 f xk 1 4 k 0 k 0
b
f(x)在这些节点的值f(xi)，求定积分 I ( f )

a
f ( x)dx
f ( x) Ln ( x) lk ( x) f ( xk )
k 0
n
I ( f ) I n ( f ) lk ( x) f ( xk )dx lk ( x)dx f ( xk )
k 0
如其求积系数 Ak lk ( x) dx, k 0,1, 2,...n ，则称此求 a 积公式为插值型求积公式. 定积分转换成被积函数的有 限个函数值的线性组合，无需求被积函数的原函数.
b
5.1 插值型求积公式 一、梯形公式---两点线性插值 两点公式 x0=a, x1=b, n=1
复化求积方法 取n=4, 用复合辛卜生公式
n n 1 h S 2 n [ f (a) f (b) 4 f ( x2 j 1 ) 2 f ( x2 j )] 3 j 1 j 1
1 1 0 1 3 5 7 S8 { f (0) f (1) 4[ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 3 2 4 8 8 8 8 1 1 3 2[ f ( ) f ( ) f ( )]} 3.14159 4 2 4
5.4 数值积分公式的代数精度

定义
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk ),
k 0
x3 6 3x 2 x 3 16
2 3
2x
2
3
3
2 x 3x
2
3

9x 27 2x2 3 ln 32 32 2

2 x 2 x2 3

f(x)是由测量或计算得到的数据表
数值积分问题
y y=f(x)
a x0 x1 xk xk 1 xk
I f ( x)dx I k
b a k 0 n 1
复合梯形公式
ba T( f ) f (a) f (b) 2
n 1 n 1 h h x b xa I k) f ( xk ) f ( xk 1) (x L (fx( )x f ( a ) Tn f (b I) k 1 k ) f ( xk 1 ) a b b a k 0 2 k 0 2
复合求积方法比较 利用数据表
xk
f (xk)
0
4
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1
2
3.93846 3.7647 3.5068 3.2000 2.8764 2.4600 2.26549
计算积分
4 I dx 0 1 x2
1
I 4arctgx |1 0 3.1415926...
( x x1 )( x x2 ) 1 dx b a a a ( x x )( x x ) 6 0 1 0 2 b b ( x x )( x x ) 2 0 2 A1 l1 ( x)dx dx b a a a ( x x )( x x ) 3 1 0 1 2 b b ( x x )( x x ) 1 0 1 A2 l2 ( x)dx dx b a a a ( x x )( x x ) 6 2 0 2 1 A0 l0 ( x)dx