专题二利用导数判断函数的单调性
例2.设函数f (x) ln x x 1 (1)讨论函数f (x)的单调性；
（2）证明当x 1,时，1＜ x 1 x.
ln x
新疆 王新敞
奎屯
变式训练 2：已知函数 f (x) ln x mx 2, g(x) 1 mx 2 x, m R,令Fx f (x) g(x).
规律方法：求可导函数f (x)极值的步骤：
第一步 求导数f (x)； 第二步 求方程f (x)=0的所有实数根； 第三步 考察在每个根x0 附近，从左到 右，导函数f (x) 的符号如何变化。
1.知识
（1）导数的几何意义；
（2）利用导数判断函数的单调性；
（3）利用导数求函数的极值。
归 通过本节课的学习，你有哪些收获？
解得x 1或x 1（舍去） 3
x （0,1）
1
f '(x) -
0
（1， ）
f (x)
减函数
极小值
增函数
当x 1时，函数 f (x)取得极小值为 3
变式训练3：设函数f (x) x3 6x 5, x R (1)求函数f (x)的单调区间和极值； （2）若关于x的方程f (x) a有三个不同的实根，求实数a的取值范围； （3）已知当x (1,）时，f (x) k(x 1)恒成立，求实数k的取值范围。
2 （1）讨论f (x)的单调性；
（2）若m 2,正实数x1, x2满足F x1 F x2 x1x2 0，
证明：x1 x2
5 -1. 2
用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数
（2）求解不等式f ′(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
注：单调区间不以“并集”出现。
专题三利用导数研究函数的极值、最值
例3.设f (x) a ln x 1 3 x 1, 其中a R, 2x 2
曲线y f (x)在点（1，f (1))处的切线垂直于y轴
（1）求a的值
（2）求函数f (x)的极值
解：（1）由题意可得f
' ( x)
课题名称：导数及其应用 学 科：高中数学 年 级：高二年级 版 本：人民教育出版社B版 工作单位： 姓 名：
导数及其应用复习课
基础自测
1.函数y x3在（1，1）处的切线方程为 3x y 2 0 2.已知函数f (x) sin x ln x,则f '(1) cos11
3.函数y sin(2x2 x)的导数是(4x 1) cos(2x2 x)
(2)已知曲线 y 2x2 7,求曲线过点 P（3,9）的切线方程 .
规律方法总结：
1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程，需要
明确“过点P（
x0
,
y )的曲线y 0
f (x)的切线方程”与“在点P（x0 ,
y )的曲线y 0
f
( x)的
切线方程”的异同点。
2.围绕切点有三个等量关 系：一是切点在曲线上 ，二是切点在切线上， 三 是在切点处的导数等于 切线的斜率。这三个等 量关系在求解参数问题 中经常用到
(2)已知曲线 C：y x3 x 2,求曲线在点 P(1，2)的切线方程 .
解： y'| 3x2 -1 2,在点（1,2）处的斜率为k 2 x1
切线方程为 y 2 2(x 1),即2x y 0
变式训练1：(1)若曲线y kx ln x在点（1，k)处的切线 平行于x轴，则k -1
纳 2.思想方法
小
结
数形结合的思想方法 (代数问题几何化）
a x
1 2x2
3 2
曲线y f (x)在点（1，f (1))处的切线垂直1 3 0 22
a 1
（2）由（1）可知，f (x) ln x 1 3 x 1(x 0) 2x 2
113 f ' (x) x 2x2 2
（3x 1)(x 1) 0 2x2
4.函数f (x) x5 x3 2x的单调递增区间为- ，-1，1，
5.函数y x3 3x的极大值为m，极小值为n, 则m n 0
复习目标 导数的几何意义及其应用； 利用导数判断函数的单调性； 利用导数研究函数的极值、最值。
典例精析
专题一导数的几何意义及其应用
例（1 2014 广西高考）(1)曲线y xex1在点（1,1）处切线的斜率等于 2