解： A B ,2 2,2 3,2 4 8 , 2, 3, 4 8( , 2, 3, 4 , 2, 3, 4 )
8( A B ) 56
19
2. 方阵的幂 1 1 1 1
例4：设
第二章 矩阵习题课
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)
排成的m行n列的数表，

a 11
a 12
a 1n

简称m n矩阵.
记作
A


a21
a22
a2n
15
9. 解矩阵方程的初等变换法
(1)AX B
初等行变换
( A B) ~ (E A1 B) X A1 B
(2)XA B
~

A B

初等列变换 E

B
A1

X
BA1
或者
~ ( AT
初等行变换
BT )
(E
(
AT
1
)
BT
)

XT

(
AT
1
)
BT
6
一些特殊的矩阵:
转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A .
满足：1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
3 AT AT ;
4 ABT BT AT .
对称矩阵和反对称矩阵： A是对称矩阵
A PBP1
A2 PBP1 PBP1 PB2P1 A3 PB2P1 PBP1 PB3P1
A5 PB5P1
21
1 0 0
1 0 0
又
B2


0 0
0 0
0 1

,
B3


0 0
0 0
4
乘法满足 ( AB)C A(BC );
( AB) (A)B A(B), (其中为数);
A(B C ) AB AC , (B C )A BA CA; E m Amn Amn Amn E n .
矩阵乘法不满足：交换律、消去律
5
方阵的幂： A是n 阶方阵， Ak A AA
矩阵方程
AX B XA B AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1C B1
25
例8:
设
A


3 1
0 1
1 0
,
且AX

A

2X
, 求 矩 阵X
.
0 1 4
（用初等变换法）
解： AX A 2X , ( A 2E)X A,
9
满足规律： ( A )1 1 A, ( AT )1 ( A1)T,
(
A)1

1

A1(

0)
A1 A 1
逆矩阵求法：（1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法
4. 分块矩阵
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
10
5. 初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换
A是反对称矩阵
AT A AT A
幂等矩阵： A为n阶方阵，且 A2 A
7
伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式
构成的如下矩阵
Aij 所
A11
A


A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
AA A A A E.
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换．
初
等
变
换逆
变
换
ri r j (ci c j) ri k(ci k) ri k r j(ci k c j)
ri r j (ci c j) 11
ri k (ci k ) ri (k)r j(ci (k)c j)
13
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
推论2：如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等 行变换，那么当 A 变成单位矩阵 E 时，E 就变成 A1。
14
要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵
8
3. 逆矩阵 定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 且 A1 1 A A
推论：设A、B为同阶方阵，若 AB E, 则A、B都可逆，且 A1 B，B1 A
A a 简记为
或 A ij mn
mn

a m
1
a m2

a mn

实矩阵: 元素是实数
复矩阵： 元素是复数
2
一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
( A E)施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就 变成了 A1 .
或者对分块矩阵
A E
施行初等列变换,当把A
变成E时,原来的E就变成了A1 .
即， A, E 初等行变换 E，A1

A E

初等列 变换
E A1

1 1 1
0 2 1 1 0 0
解：(
A
E
)


1 1
1 1
2 1
0 0
1 0
0 1

r1r 2 1
1
2
0
1
0
r

3
r
1

1
1
2
0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0 ~ 0 2 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
1 交换律：A B B A.
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
3
数与矩阵相乘：数 与矩阵 A的乘积记作 A 或 A ，规定为 A A (aij )
时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．
24
4. 矩阵方程
例7: 解矩阵方程 AX B, XA B, AXB C,
其中A, B均为可逆矩阵。
注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘， 因为矩阵乘法不满足交换律。
r

2
r
3

1
1
2
0
1
0

r
(
1
2
)r
3

1
1
0
0
1
2
~ 0 2 0 1 1 1 ~ 0 2 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1
23
r
1 22

1
1
0
0
1 2
~ 0 1 0 1 2 1 2 1 2
0 0 1 0 1 1
并且
k个
Am Ak Amk
Am k Amk （m,k为正整数）
方阵的多项式：
f (x)

a xk k
a x k 1
k 1

a xa
1
0
f
( A)

a Ak k

a A k 1
k 1

a Aa E
1
0
方阵的行列式：
满足: 1 AT A; 2 A n A; 3 AB A B
3 0 5 18
例3：设 4 阶方阵 A , 2 , 3 , 4 , B , 2 , 3 , 4 ,
其中 , , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，且已知行列式
A 4, B 3, 求行列式 A B .
分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求
X B A1
16
1. 矩阵的基本运算
2. 方阵的幂
二. 典型例题
3. 逆矩阵的求解、证明
1. 矩阵的基本运算
4. 矩阵方程 5. 矩阵的分块运算
例1：设矩阵
A


1 0
1 1 , 求与A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为 X 由 AX XA,
分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算
解： (2E A)T (2E A)1(4E A2 )
(2E A)T (2E A)1(2E A)(2E A)
(2E A)T (2E A) (2E A)T (2E A)
3 0 02
(2E A) 2 0 3 0 2025

a