波函数
自由粒子波函数
0 0
0
自由粒子的
0
波函数
自由粒子的能量和动量为常量， 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。 罗意波是平面波。 对于处在外场作用下运动的非自由粒子， 对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同， 外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。 不相同。
– 31
的 称节点位置 kg 极大的 称最概然位置
看，
置间隔变小。 很大， 置间隔变小。 很大，概 算得 × 37.7 eV 能量量子化明显 好比驻波 率密度趋近均匀分布。 率密度趋近均匀分布。 – 2 m ( 宏观尺度)的势阱中 处在宽度 10
归纳
例
例
例
例
电子束 缝 宽
例
电子束
缝 宽
例
例
不确定关系
海森伯
第三节
经典理论的困难 根源：微观粒子具有明显的波粒二象性。 根源：微观粒子具有明显的波粒二象性。 由于微观粒子具有明显的波动性， 由于微观粒子具有明显的波动性，导致了不确定关 同方向的位置和动量不能同时确定, 系 , 同方向的位置和动量不能同时确定 , 使得我们不能 用坐标和动量来描述微观粒子的运动状态. 用坐标和动量来描述微观粒子的运动状态. 那么用什么物理量来描述微观粒子的运动状态呢? 那么用什么物理量来描述微观粒子的运动状态呢 既然微观粒子具有明显的波动性， 既然微观粒子具有明显的波动性，使我们自然地想 用一个函数(波函数)来描述微观粒子的运动状态。 到,用一个函数(波函数)来描述微观粒子的运动状态。
微观客体的运动状态可用波函数来描述， 微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是 量子力学的一个基本假设。 量子力学的一个基本假设。
概率密度
1926 年提出了对 波函数的统计解释
波函数归一化
因概率密度 故在 矢端的体积元 发现粒子的概率为 在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子， 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。 子出现的概率为 。 内
量子力学初步
量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。 电子学及高新技术等许多领域。 本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理， 原理，并通过几个具体事例的讨论来说明 量子力学处理问题的一般方法。 量子力学处理问题的一般方法。
第一节
新思想的形成背景
普朗克、 普朗克、爱因斯坦等人的能量子和光量子理论取得的 成功，实际上反映了光具有波粒二向性． 成功，实际上反映了光具有波粒二向性．波尔纯粹用 粒子的观点去解决原子问题虽有较大进展， 粒子的观点去解决原子问题虽有较大进展，但又遇到 了困难． 了困难． 这些启示了德布罗意，提出了一个很发人深省的 这些启示了德布罗意 问题。他认为： 整个世纪以来， 问题。他认为：“整个世纪以来，在光学中比起波的 研究方法来，如果说是过于忽视粒子的研究的话， 研究方法来，如果说是过于忽视粒子的研究的话，那 么在实物粒子的理论上，是不是发生了相反的错误， 么在实物粒子的理论上，是不是发生了相反的错误， 把粒子的图象想得太多，而过分忽视了波的图象呢？ 把粒子的图象想得太多，而过分忽视了波的图象呢？” 于是， 年他提出了一个大胆的假设： 于是，在1924年他提出了一个大胆的假设：不仅辐射 年他提出了一个大胆的假设 具有波粒二象性，一切实物粒子也具有波粒二象性。 具有波粒二象性，一切实物粒子也具有波粒二象性。
对坐标的一阶导数存在且连续（ 定态薛定谔方程成立）。 对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。
若已知势能函数 可求解出
，应用定态薛定谔方程 应用定态薛定谔方程
，并得到定态波函数 并得到定态波函数
定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。 定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。
得
概率密度最大的位置
求极大值的 x 坐标 积分得
解得 另外两个解
处 处题设
最大
得到归一化波函数：
概率密度
第四节
薛定谔方程引言
薛定谔方程
定态薛定谔方程
若粒子所在的 势场只是空间函数 即 则粒子的每个状态 能量具有确定值
续上
连续、单值、有限的标准条件； 连续、单值、有限的标准条件；
归一化条件； 归一化条件；
德布罗意
1923年他提出电子既具 年他提出电子既具 有粒子性又具有波动性。 有粒子性又具有波动性。 1924年正式发表一切物质 年 都具有波粒二象性的论述。 都具有波粒二象性的论述。 并建议用电子在晶体上做 衍射实验来验证。 衍射实验来验证。1927年 年 被实验证实。 被实验证实。他的论述被 爱因斯坦誉为 “ 揭开了 巨大面罩的一角 ”。 德布罗意为此获得1929 德布罗意为此获得 年诺贝尔物理学奖。 年诺贝尔物理学奖。
NaCl晶体的中子衍射 NaCl晶体的中子衍射
要点1
要点2
第二节
不确定关系
海森伯
1927年，德国物理学家海森伯提出 年 微观粒子不能同时具有确定的位置和动量， 微观粒子不能同时具有确定的位置和动量， 位 置 的 不 确 定 量 的关系 同一时刻 该方向动量的不确定量
称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明， 称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明， 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。
不确定关系
从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系
电子束 缝 宽
单缝衍射一级暗纹条件 电子通过单缝时发生衍射，
概略地用一级衍射角所对应 的动量变化分量 粗估其 动量的不确定程度
续上
德布罗 意波长
缝宽 可用来粗估 电子通过单缝时其位 置 x 的不确定程度。 的不确定程度。 为了减小位置测量 衍 的不确定程度，可以 的不确定程度， 射 减小缝宽 ，但与 此同时， 图 此同时，被测电子的 样 动量的不确定量 却变大了。 却变大了。 根据右图可粗估 与 的关系。 的关系。
8,9,10,14,15,16,18,19
教学基本要求
了解德布罗意假设及电子衍射实验 德布罗意假设及电子衍射实验. 一 了解德布罗意假设及电子衍射实验 了解实 物粒子的波粒二象性. 物粒子的波粒二象性 理解描述物质波动性的物理量 波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、 （波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、能 之间的关系. 量）之间的关系 二 了解坐标和动量、时间和能量的不确定关系 . 了解坐标和动量 坐标和动量、 了解波函数及其统计解释 了解一维定态的 三 了解波函数及其统计解释 . 了解一维定态的 薛定谔方程， 掌握量子力学中用薛定谔方程处理一 薛定谔方程， 掌握量子力学中用薛定谔方程处理一 维无限深势阱等微观物理问题的方法 .
钨晶体薄片对电子的衍射
氧化锌晶体对电子的衍射
电子及中子衍射图片
电子衍射、中子衍射、 电子衍射、中子衍射、甚至原子和分子束在晶体表 面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。 面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。微观粒 子具有波粒二象性的理论得到了公认。 子具有波粒二象性的理论得件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件： 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
波函数标准条件
波函数的三个标准条件： 波函数的三个标准条件：
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变， 因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续； 须处处连续； 因任一体积元内出现的概率只有一种， 因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的； 波函数一定是单值的； 因概率不可能为无限大， 因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的； 有限的；
戴-革实验
汤姆孙实验
电子衍射图片
由于电子进入到晶体内部时容易被吸收， 由于电子进入到晶体内部时容易被吸收， 人们通常采用极薄的晶片， 人们通常采用极薄的晶片，或让电子束以 掠入射的形式从晶体表面掠过， 掠入射的形式从晶体表面掠过，使电子只 与晶体最外层的原子产生衍射， 与晶体最外层的原子产生衍射，从而成功 地观察到多种晶体的电子衍射图样。 地观察到多种晶体的电子衍射图样。 电子在氧化镁晶体半平面的直边衍射
得
即
考虑到高于一级 仍会有电子出现
取
和
不可能
通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式， 通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明
同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定， 同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种 客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中， 客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克 常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。 常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。
因此， 因此，将波函数在空间 各点的振幅同时增大 C倍， 倍 则各处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度 分布状态。 分布状态。
德布罗意波 不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方） 波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间 各点波强的比例， 各点波强的比例，并非取 决于波强的绝对值。 决于波强的绝对值。
因此， 因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C 倍，不影响粒子 的概率密度分布， 的概率密度分布，即 和 C 所描述德布罗意波的状态相同。 所描述德布罗意波的状态相同。