万有引力与天体运动一、开普勒三定律1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个__________上．2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的__________相等．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的__________的三次方跟__________的二次方的比值都相等．二、万有引力定律1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成________，跟它们的距离的二次方成________．2．公式：________________ (其中引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/ kg 2)．3．适用条件：公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，均匀的球体视为质点时，r 是两球心间的距离．【对点检测】 一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，该星球的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( )A ．14 B ．12 C ．2倍 D ．4倍三、天体运动问题的分析1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成_________________运动．2．动力学分析：(1)万有引力提供__________，即F 向＝G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r .(2)在星球表面附近物体所受万有引力近似等于__________，即G Mmr 2＝mg (g 为星球表面的重力加速度)．考点一 万有引力的计算和应用1．万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向沿两物体的连线且相反，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同．2．万有引力的一般应用： 万有引力的一般应用问题主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：(1)万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2中的r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 1m 2r 2＝m 1a ，且a ＝ω2r ＝v 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ；(3)根据万有引力等于重力，得G MmR 2＝mg ，GM ＝gR 2(黄金代换公式)，利用黄金代换公式进行天体质量和天体重力加速度之间的代换．例 1 [2014·北京卷]万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．(1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F 0.①若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧测力计读数为F 1，求比值F 1F 0的表达式，并就h＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；②若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F 2，求比值F 2F 0的表达式．变式题 假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一口矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部处的重力加速度和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋dRC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2 考点二 天体质量及密度的计算计算天体的质量和密度问题的关键就是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力．由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2；ρ＝MV＝M 43πR3＝3πr 3GT 2R 3(R 为中心天体的半径，若为近地卫星，则R ＝r ，有ρ＝3πGT 2)．由上式可知，只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出中心天体的质量M .若知道中心天体的半径，则可得中心天体的密度．例2 [2014·新课标全国卷Ⅱ]假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－g g 0B. 3πGT 2g 0g 0－gC. 3πGT 2D. 3πGT 2g 0g例3 【2013·全国卷】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127 min.已知引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103 km ，利用以上数据估算月球的质量约为( )A ．8.1×1010 kgB ．7.4×1013 kgC ．5.4×1019 kgD ．7.4×1022 kg[技巧点拨] 对于天体质量和密度的估算问题是高考命题热点，解答此类问题，首先要掌握基本方法(两个等式：①万有引力提供向心力；②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力)，其次是记住常见问题的结论，主要分两种情况：(1)利用卫星的轨道半径r 和周期T ，可得中心天体的质量为M ＝4π2r 3GT 2，并据此进一步得到该天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3(R 为中心天体的半径)，尤其注意当r ＝R 时，ρ＝3πGT 2.(2)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR .考点三 天体表面的力学问题1．天体表面及其某一高度处的重力加速度的求法设天体表面重力加速度为g ，天体半径为R ，忽略天体自转，则有mg ＝G Mm R 2，得g ＝GMR 2或GM ＝gR 2.若物体距天体表面高度为h ，则重力mg ′＝G Mm （R ＋h ）2，得g ′＝GM（R ＋h ）2＝R 2（R ＋h ）2g .2．地球表面的物体运动规律的迁移应用在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已．例4 【2014·银川一中月考】我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星－500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，火星的质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度为g ，地球的半径为R ，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度为h ，忽略自转的影响，引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．火星的密度为2g3πGRB ．火星表面的重力加速度是29gC ．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为23D ．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是92h 变式题 [2014·滨海五校联考]若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L ，已知月球半径为R ，引力常量为G ，则下列说法错误的是( )A ．月球表面的重力加速度g 月＝2hv 20L 2B ．月球的质量m 月＝2hR 2v 20GL 2 C ．月球的第一宇宙速度v ＝v 0L 2hRD ．月球的平均密度ρ＝3hv 202πGL 23．我国于2013年12月2日发射了“嫦娥三号”探测器．已知月球半径为R 0，月球表面处重力加速度为g 0，地球和月球半径的比值R R 0＝4，地球和月球表面重力加速度的比值gg 0＝6，则地球和月球密度的比值为( )A ．23B ．32 C ．4 D ．6人造卫星 宇宙速度一、分析人造地球卫星问题的基本思路1．运动特征：轨迹为圆周，且轨迹的圆心必与地球的地心__________． 2．力学特征：__________提供向心力．3．基本方程：____________________________________．【对点检测】 a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 的轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图11－1所示．下列说法中正确的是( )图11－1A ．a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度B ．b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度C ．a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度D ．a 、c 存在在P 点处相撞的危险二、卫星系统中的超重和失重1．在卫星进入轨道前的加速过程中，卫星内的物体处于______状态．2．在卫星进入圆形轨道正常运转时，卫星内的物体处于__________状态．三、三个宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的__________________，也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的________________．2．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，是卫星挣脱地球引力束缚的________________．3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，是卫星挣脱太阳引力束缚的________________．【对点检测】关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是()A．第一宇宙速度又叫环绕速度B．第一宇宙速度又叫脱离速度C．第一宇宙速度跟地球的质量无关D．第一宇宙速度跟地球的半径无关考点一人造卫星运行及变轨问题1．环绕同一天体的不同轨道高度的卫星运行参量比较卫星运行参量半径变化相关方程结论线速度v 增大GMmr2＝mv2r v＝GMr卫星轨道半径越大，其线速度越小、动能越小、势能越大、机械能越大、角速度ω 增大G Mmr2＝mω2r ω＝GMr 3角速度越小、2.人造卫星的变轨卫星在轨期间改变运行轨道的过程称为变轨．从动力学角度分析——卫星由低轨道变轨到高轨道，需要火箭点火，向着运动的反方向喷出气体使卫星加速，则卫星做圆周运动所需的向心力增加，但是卫星受到的万有引力不变，使得此时卫星受到的万有引力不足以提供卫星仍在原轨道做圆周运动的向心力，因此卫星将会做离心运动，其运行轨道将提升．在轨道半径增大的过程中需要克服地球引力做功，所以卫星速度将会减小．由于在卫星变轨前后短时间内，卫星(或探测器)到中心天体的距离不变，所受万有引力(合外力)大小不变，所以变轨前后瞬间卫星虽属不同轨道，但其向心加速度不变．从能量角度分析——人造卫星在变轨(由低轨道升至高轨道)的过程中，重力势能增加值远大于动能减少值，即在变轨过程中，发动机消耗的能量E 主要是为了增加人造卫星的重力势能．据能量守恒定律，有E ＋ΔE k ＝ΔE p ，也就是说人造卫星调整到高轨道是以动能的损失和发动机消耗能量为代价来增加其重力势能的．卫星运 行参量 半径变化 相关方程结论周期T 增大G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2rT ＝2πr 3GM周期越大、频率越小、向心加速度越小(同一卫星所受万有引力越小)向心加速度a 增大G Mmr 2＝ma 向a 向＝GM r 2例1 (多选)【2014·广东卷】如图11－2所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是()图11－2A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度变式题【2014·山东卷】2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图11－3所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为E p＝GMmhR（R＋h），其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为()图11－3A.mg月RR＋h(h＋2R) B.mg月RR＋h(h＋2R)C. mg月RR＋h⎝⎛⎭⎪⎫h＋22RD.mg月RR＋h⎝⎛⎭⎪⎫h＋12R考向二几点常见卫星、拉格朗日点1．近地卫星近地卫星的轨道半径r近似地等于地球半径R，其绕行速度是所有卫星的最大绕行速度；运行周期约为T＝85 min，是所有卫星的最小周期；向心加速度a＝g＝9.8 m/s2，是所有卫星的最大加速度．2．极地轨道卫星极地轨道卫星指运行过程中通过两极点上空的卫星，其轨道平面与地球赤道平面垂直，由于地球自转，这种卫星不能始终和地球某一经线平面重合，从而使得该种卫星可对全球进行间断性扫描．3．同步卫星地球同步卫星是指在运动轨道赤道平面内且与地球自转周期相同的卫星，又叫通讯卫星．同步卫星有以下几个特点：①周期一定(周期T＝24 h)；②轨道平面一定(赤道平面)；③轨道高度一定(距离地面h≈3.6×104 km)；④环绕速度大小一定(速率v≈3.1 km/s)；⑤向心加速度大小一定；⑥绕行方向一定(由西向东)．4．拉格朗日点拉格朗日点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，由法国数学家拉格朗日1772年推导证明出，共有5个．其中L2点位于日地连线上、地球外侧约150万公里处，在L2点卫星消耗很少的燃料即可长期驻留，是探测器、天体望远镜定位和观测太阳系的理想位置，在工程和科学上具有重要的实际应用和科学探索价值，是国际深空探测的热点．例2【2014·四川卷】石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，如图11－4所示，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．图11－4(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.(2)当电梯舱停在距地面高度h2＝4R的站点时，求舱内质量m2＝50 kg的人对水平地板的压力大小．地面附近重力加速度g取10 m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s，地球半径R＝6.4×103 km.[导思] ①同步空间站及站内货物围绕地球做圆周运动的角速度为多大？②当电梯舱停在距地面高度h2＝4R的站点时，舱内人的向心加速度为多少？变式题【2014·天津卷】研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A．距地面的高度变大B．向心加速度变大C．线速度变大D．角速度变大考点三天体运动与天文探索黑洞属于客观存在的天体，只是由于其质量极大、密度极高而对周围物质吸引力极大，大到连光线都不能脱离其引力而自黑洞发射出来，也谈不到黑洞反射光线，所以不能通过肉眼或光学仪器观测到．黑洞和其他可视天体可以构成各种形式的星系，科学家也正是据此来间接观测和研究黑洞的．近几年高考试题中，涉及黑洞问题、双星问题、三星系统等考题主要有以下几种形式：系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视星构成的双星系统两颗可视星构成的双星系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.n3k2T B.n3k T C.n2k T D.nk T变式题【2014·常熟测试】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法错误的是()A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为a 2C．四颗星表面的重力加速度均为Gm R2D．四颗星的周期均为2πa2a（4＋2）Gm1．美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、适合居住的行星——“开普勒－22b”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于() A．3.3×103 m/s B．7.9×103 m/sC．1.9×104 m/s D．1.1×104 m/s2．【2014·浙江卷】长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于() A．15天B．25天C．35天D．45天3．(多选)【2014·南通模拟】A、B两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，A的运行周期大于B的运行周期，则()A．A距离地面的高度一定比B的大B．A的向心加速度一定比B的小C．A的向心力一定比B的大D．A的运行速率一定比B的大4. 【2014·福建卷】若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的()A.pq倍B.qp倍 C.pq倍 D.pq3倍5．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图11－5所示．引力常量为G，由观测结果能够得到可见星A的速率v和运行周期T.(1)可见星A所受暗星B的引力F A可等效成位于O点处的质量为m′的星体(可视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)．(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．图11－5。