万有引力与天体运动 万有引力与航天综合一、开普勒行星运动规律1．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．2．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．表达式：23TR ＝k (R 表示椭圆的半长轴，T 表示公转周期)k 是一个与行星本身无关的量，而所有行星都绕太阳运转，则k 仅与太阳这个中心体有关．二、万有引力定律自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比．跟它们的距离的二次方成反比．F ＝221rm m G ,万有引力常量：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2三、天体圆运动问题分析及公式推导1．我们把环绕天体绕中心天体的运动看作匀速圆周运动。

①线速度v s t =,角速度ω=t θ，它们之间的关系是：Tr r v πω2==②向心加速度大小的表达式是2v a r=，或2a r ω=③周期T=2rvπ,或T= 2πω.④向心力的作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。

根据牛顿第二定律得2v F ma m r==，2F ma m r ω==.2.天体圆运动问题的分析方法：对于那些在万有引力作用下，围绕某中心天体(质量为M )做圆运动的天体(质量为m )来说，其圆运动问题的分析应紧紧把握住“引力充当向心力”这一要点来进行．即2rMm G ＝ma ．其中的向心加速度a n ＝r v 2＝2r ω＝r T 2)2(π至于a n 应取何种表达形式，应依据具体问题来确定．环绕天体绕中心天 体作匀速圆周运动ma2Mm G a ＝2r GM． v ＝rGMω＝3rGMＴ＝２πGMr 3由Rv m mg 2= 得gR v =2GM四、万有引力定律在天文学上的应用天体运动问题是力和运动关系的问题，它有两方面的应用：一方面是万有引力作用下的环绕天体的圆运动问题；另一方面是通过环绕天体的运动特征来研究中心天体的性质（如质量，密度等）。

1.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系:_____________________________________ 2．估算天体的质量和密度由G 2r Mm＝ｍr T 224π得：2324GTr M π=．即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量.由ρ＝V M ，Ｖ＝34πＲ３得：ρ＝3233R GT r π．R 为中心天体的星体半径特殊地，当ｒ＝Ｒ时，即卫星绕天体M 表面运行时，ρ＝23GTπ，由此可以测量天体的密度.【针对训练】1．太阳对地球有相当大的万有引力，但它们不会靠在一起，其原因是：( ) A ．地球对太阳也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相平衡了 B ．地球和太阳相距太远了，它们之间的万有引力还不够大 C ．其他天体对地球也有万有引力，这些力的合力为零D ．太阳对地球的万有引力充当了向心力，不断改变地球的运动方向，使地球绕太阳运转 2．如图所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：（ ）A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

3.“嫦娥二号”环月飞行的高度距离月球表面100km ，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200km 的“嫦娥一号”更加翔实。

若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示。

则：（ ）A ．“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更小B ．“嫦娥二号”环月运行时的线速度比“嫦娥一号”更小C ．“嫦娥二号”环月运行时的角速度比“嫦娥一号”更小D ．“嫦娥二号”环月运行时的向心加速度比“嫦娥一号”更小4.假如一个做圆运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，并且它仍做圆周运动，下列说法正确的是：（ ）A ．根据公式：2v F m r =，可知卫星所需要的向心力将减小到原来的12B ．根据公式：2F m r ω=，可知卫星所需要的向心力将增大到原来的2倍 C ．根据公式：v r ω=，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 D ． 根据公式：GM v r =，可知卫星运动的线速度将减小到原来的25．海王星是绕太阳运动的一颗行星，它有一颗卫星叫海卫1。

若将海王星绕太阳的运动和海卫1 绕海王星的运动均看作匀速圆周运动，则要计算海王星的质量，需要知道的量是（引力常量G 为已知量）（ ）A. 海卫 1 绕海王星运动的周期和半径B. 海王星绕太阳运动的周期和半径C. 海卫 1 绕海王星运动的周期和海卫 1 的质量D. 海王星绕太阳运动的周期和太阳的质量6.某行星绕太阳公转的半径为r ,公转的周期为T ，万有引力恒量为G ，则由此可求出：（ ） A ．某行星的质量 B ．某行星的密度 C ．太阳的质量 D ．太阳的密度 7．已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。

仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ）A.月球的质量 B ．地球的质量 C ．地球的半径 D ．月球绕地球运行速度的大小bac 地球嫦娥一号嫦娥二号8．科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。

假设该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有（ ） A ．恒星质量与太阳质量之比 B ．恒星密度与太阳密度之比 C ．行星质量与地球质量之比 D ．行星运行速度与地球公转速度之比9．一颗小行星环绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍,则这颗小行星运转的周期是__________年10．已知下列数据：⑴地面附近物体的重力加速度g ； ⑵地球半径R ；⑶月球与地球的两球心间的距离r ； ⑷卫星环绕地球运动的第一宇宙速度v1； ⑸月球绕地球运动的周期T1； ⑹地球绕太阳运动的周期T2； ⑹万有引力常数G 。

试选取适当的数据估算地球的质量。

（要求给出两种方法）五、人造卫星 宇宙速度1．第一宇宙速度：v=7.9km/s ．是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度.近地轨道卫星绕地球表面做圆周运动时的万有引力就等于重力 mg,其绕行半径为地球半径．由Rv m mg 2= 得gR v ==7.9km/s2．地球同步卫星的特征：①同步卫星周期T 一定，其环绕半径一定，线速度、角速度、加速度是确定值。

②高度为确定的值。

由Ｔ＝２πGM r 3 得环绕半径3224πGMTr =，高度R GMT H -=3224π ③轨道平面必与赤道平面重合。

【针对训练】11．关于地球同步通讯卫星，下述说法正确的是 （ ）A ．已知它的质量为1t ，若增为2t ，其同步轨道半径将变为原来的2倍B ．它的运行速度应为第一宇宙速度C ．地球同步通讯卫星的轨道是唯一的，在赤道上方一定高度处D ．它可以通过北京的正上方12．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其速率是下列的（ ） A.一定等于7.9km/s B. 等于或小于7.9km/s C. 一定大于7.9km/s D.介于7.9km/s~11.2km/s 之间13.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（ ）A ．飞船的轨道半径B ．飞船的运行速度C ．飞船的运行周期D ．行星的质量 14．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为ν,周期为T ,若使卫星周期变为2T ，可能的方法有 （ ）A ．R 不变，使线速度变为ν/2B ．ν不变，使轨道半径变为2RC ．轨道半径变为R 34D ．以上方法均不可以15. 已知人造地球卫星靠近地面运行时的环绕速度约为8km/s ，则在离地面的高度等于地球半径处运行的速度为 （ ）A ．22km/sB ．4km/sC ．8km/sD ．24km/s16．地球上的第一宇宙速度约为8km/s ，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，该行星上的第一宇宙速度为（ ）A.16km/sB. 32km/sC.4km/sD.2km/s17．某人在一星球上以速率v 竖直上抛一物，经过时间t 落回到人的手中，已知该星球半径为R ，则至少以多大的速度沿星球表面发射，才能使物体不落回该星球（ ） A.RvtB.t Rv 2C.t RvD.t Rv 2六、关于天体表面及某一高度处的重力加速度的计算地球表面处物体所受到的万有引力近似等于其重力，即2rGmM≈mg ， 2gr GM 这也适用于分析其它天体圆运动问题的重力加速度，是一个的重要的辅助公式。

【针对训练】18．一个半径是地球的3倍，质量是地球的36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（ ）A ．6倍B ．18倍C ．4倍 Ｄ．135倍19． 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km 。

若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星的密度与地球相同。

已知地球半径R=6400km ，地球表面的重力加速度为g .这个小行星表面的重力加速度为（ ）A ．400g B. 1g 400C.20gD.1g 20 20. 已知万有引力常量G ，再利用哪组数据可以计算出地球的质量（ ） A. 地球半径R 和地面的重力加速度gB. 卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和周期TC. 卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和线速度vD. 卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T21．2007年10月24日18时05分，中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空。

已知月球半径为R ，若“嫦娥一号”到达距月球表面高为R 处时，地面控制中心将其速度调整为v 时恰能绕月球匀速飞行。

将月球视为质量分布均匀的球体，则月球表面的重力加速度为（）A．v2/R B．2v2/R C．v2/2R D．4v2/R22．（2014朝阳高三上期中）已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。

（1）推导第一宇宙速度v的表达式；（2）若已知地球自转的周期为T，求地球同步卫星距离地面的高度h。

23．如图所示，人类选择登陆火星的时间是在6万年以来火星距地球最近的一次，这时火星与地球之间的距离仅有5.58×107km。

登陆前火星车在距火星表面H高处绕火星做匀速圆周运动，绕行n圈的时间为t，已知火星半径为R ，真空中的光速为c＝3.00×108m/s。