万有引力和天体运动卫星运行规律1 【浙江省2018年下半年选考】20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。
现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变量为Δv，和飞船受到的推力F(其它星球对它的引力可忽略)。
飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。
已知星球的半径为R，引力常量用G表示。
则宇宙飞船和星球的质量分别是（）【答案】D2 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。
在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。
12已知星球M 的半径是星球N 的3倍，则（ ）A ．M 与N 的密度相等B ．Q 的质量是P 的3倍C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【答案】AC【解析】由a －x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg －kx ＝ma ，变形式为：k a g x m =-，该图象的斜率为k m-，纵轴截距为重力加速度g 。
根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比00331M N a g g a ==；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即2Mm Gm g R ''=，即该星球的质量2gRM G =，又因为34π3M R ρ=，联立得34πg RG ρ=，故两星球的密度之比11N M M N N M R g g R ρρ=⋅=，故A 正确；当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，mg ＝kx ，即kxm g=，结合a －x 图象可知，当物体P 和物体Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比00122P Q x x x x ==，故物体P 和物体Q 的质量之比16N P P Q Q M g m x m x g =⋅=，故B 错误；物体P 和物体Q 分别处于各自的平衡位置（a ＝0）时，它们的动能最大，根据v 2＝2ax ，结合a －x 图象面积的物理意义可知，物体P 的最大速度满足2000012332Pv a x a x =⋅⋅⋅=，物体Q 的最大速度满足2002Qv a x =，则两物体的最大动能之2k 2k 41Q Q Q PP PE m v E m v ==，C 正确；物体P 和物体Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a ＝0）可知，物体P 和Q 振动的振幅A 分别为x 0和2x 0，即物体P 所在弹簧最大压缩量为2x 0，物体Q 所在弹簧最大压缩量为4x 0，则Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时P 物体最大压缩量的2倍，D 错误。
3 (2019∙全国II 卷∙14) 2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描F 随h 变化关系的图象是( )3【答案】D【解析】根据万有引力定律可得：F ＝GMmR ＋h 2，h越大，F 越大，故选项D 符合题意。
4 (2018∙全国III 卷∙15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火。
已知它们的轨道半径R 金＜R 地＜R 火，由此可以判定( )A ．a 金＞a 地＞a 火B ．a 火＞a 地＞a 金C ．v 地＞v 火＞v 金D ．v 火＞v 地＞v 金【答案】A【解析】由万有引力提供向心力GMmr 2＝ma ，知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A 项正确，B 错误；由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝GMr可知轨道半径越小，运行速率越大，故C 、D 都错误。
5 2019年4月20日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第44颗北斗导航卫星，拉开了今年北斗全球高密度组网的序幕。
北斗系统主要由离地面高度约为6R 的同步轨道卫星和离地面高度约为3R 的中圆轨道卫星组成(R 为地球半径)，设表面重力加速度为g ，忽略地球自转。
则( )A ．这两种卫星速度都大于gRB ．中圆轨道卫星的运行周期大于24小时C ．中圆轨道卫星的向心加速度约为16gD ．根据G Mm r 2＝m v 2r 可知，若卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，需向前方喷气减速 【答案】C【解析】根据万有引力提供向心力：，解得：，在地球表面有：，联立可得：，因为同步卫星和中圆轨道卫星的轨道半径均大于地球半径，故这两种卫星速度都小于，故A 错误；根据万有引力提供向心力：，解得：；同步卫星的周期为24h ，故中圆轨道卫星的运行周期小于24小时，B 错误；由题意4可知，中圆轨道卫星的轨道半径约为4R ，故有：，结合解得：，故C 正确；卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，卫星做离心运动，此时万有引力不足以提供向心力，故卫星应向后喷气加速，故D 错误。
6 2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度，图示为“嫦娥四号”到达月球背面的巡视器。
已知地球和月球的半径之比约为4∶1，其表面重力加速度之比约为6∶1。
则地球和月球相比较，下列说法中最接近实际的是( )A ．地球的密度与月球的密度比为3∶2B ．地球的质量与月球的质量比为64∶1C ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度比为8∶1D ．苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力比为60∶1 【答案】A【解析】设星球的密度为ρ，由2Mm Gmg R =，得GM ＝gR 2，3=4M gV G Rρπ=，已知地球的半径约为月球半径4倍；地球表面重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，所以地球和月球的密度之比约为3∶2，地球的质量与月球的质量比为96∶1，故A 正确，B 错误；根据22=Mm v G mg m R R=可得v gR =，则地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度比为26∶1，选项C 错误；根据F ＝mg 可知，苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力比为6∶1，选项D 错误。
7如图所示，地球绕太阳的运动与月亮绕地球的运动可简化成同一平面内的匀速圆周运动，农历初一前后太阳与月亮对地球的合力约为F 1，农历十五前后太阳与月亮对地球的合力约为F 2，则农历初八前后太阳与月亮对地球的合力表达式正确的是( )A ．F 1＋F 2B 22122F F -C ．1212F F F F + D 22122F F +5【答案】D【解析】农历初一前后太阳与月亮对地球的合力约为：F 1＝F 日＋F 月，农农历十五前后太阳与月亮对地球的合力约为：F 2＝F 日－F 月；则农历初八前后太阳与月亮对地球的合力为：22F F F =+日月，三式联立解得：22122F FF +=，故D 正确。
8近来，有越来越多的天文观测现象和数据证实黑洞确实存在。
科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速度，为第一宇宙2倍）超过光速时，该天体就是黑洞。
己知某天体与地球的质量之比为k ，地球的半径为R ，地球的第一宇宙速度为v 1，光速为c ，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )A ．2122kv R cB ．2212kc R vC ．212v RkcD ．221c R kv【答案】A【解析】地球的第一宇宙速度为v 1，有212Mm v G m R R=，设天体成为黑洞时其半径为r ，第一宇宙速度为v 2，则222GkMm v m r r=，逃逸速度v 2ʹ＝2v 2，又有题意知星体成为黑洞的条件为v 2ʹ＞c ，联立解得2122kv Rr c <，故A 正确。
9 (多选)“嫦娥四号”已成功降落月球背面，未来中国还将建立绕月轨道空间站。
如图所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地－月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A 处对接。
已知空间站绕月轨道 半径为r ，周期为T ，万有引力常量为G ，月球的半径为R ，下列说法正确的是( )A ．宇宙飞船在A 处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速B ．地－月转移轨道的周期小于TC ．月球的质量为M ＝4π2r 3GT 2D ．月球的第一宇宙速度为v ＝2πrT【答案】AC【解析】根据圆周运动的供需平衡关系，从轨道比较高的椭圆变轨到轨道高度比较低的圆周，应减速，A正确；根据开普勒第三定律可知可知，地－月转移轨道的半长轴大于空间站圆周运动的半径，所以地－月转移轨道周期大于T，B错误；以空间站为研究对象，它做匀速圆周运动的向心力来源于月球对它的万有引力，可知，所以，C正确；月球的第一宇宙速度，将C选项求得的M 带入可得，D错误。
10．宇航员在某星球表面做了如图甲所示的实验，将一插有风帆的滑块放置在倾角为θ的粗糙斜面上由静止开始下滑，帆在星球表面受到的空气阻力与滑块下滑的速度成正比，即F＝kv，k为已知常数。
宇航员通过传感器测量得到滑块下滑的加速度a与速度v的关系图象如图乙所示，已知图中直线在纵轴与横轴的截距分别为a0、v0，滑块与足够长斜面间的动摩擦因数为μ，星球的半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响。
由上述条件可判断出( )A．滑块的质量为0kavB．星球的密度为034π(sin cos)aGRθμθ-C0cos sin)a Rθμθ-Dsin cosaθμθ-【答案】B【解析】带风帆的滑块在斜面上受到重力、支持力、摩擦力和空气阻力的作用，沿斜面方向，由牛顿第二定律得：mgsin mgcos F maθμθ--=，而F kv=，联立可得kva gsin gcosmθμθ=--，由题意知0k am v=，gsin gcos aθμθ-=，即滑块的质量0kvma=，星球的表面重力加速度670a g sin cos θμθ=-，根据2GMm mg R =和343M R ρπ=可得星球的密度03344()g a G R G R sin cos ρππθμθ==-，根据22GMm mv R R =可得星球的第一宇宙速度v =2224GMm m R R T π=可得该星球近地卫星的周期T =B 正确，ACD 错误。
11 (多选)牛顿进行了著名的月地检验，验证了使苹果下落的力和使月球绕地球运动的力是同一种性质的力，同样遵从“平方反比”规律。
在进行月地检验时，需要用到的物理量除了地球的半径和月地距离外，还需要的是( )A ．月球的质量B ．月球公转的周期C ．地球自转的周期D ．地表的重力加速度 【答案】BD【解析】月球绕地球做匀速圆周运动，则有：2v F m L=；由向心加速度的表达式得：2v a r =，其中：2rv T π=，联立可得：224r a T π＝，可得：224a rg gT π＝；根据牛顿的猜想，若两个引力都与太阳吸引行星的力性质相同，遵循着统一的规律，都是由地球的吸引产生的，设地球的质量为M ，则有：2G Mm m a r ∝月月；地球表面的物体：2GMm m g R ''∝，所以22 a R g r ＝，与224a rg gT π＝的结果比较可知，两种情况下的计算的结果是近似相等的，可知牛顿的猜想是正确的。