积分（二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分）的定义
和性质
CH 19 积分(二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分)的定义和
性质
1(重积分的概念
n
(1) 定义:二重积分表示一种类型和式的极限,limf(,,,),,，三重积分表
f(x,y)d,,iii,,,,0,1iD
n
f(x,y,z)dV示,limf(,,,,,),v,其值均取决于被积函数的对应规则和积分
区,iiii,,,,,0,1iD
域，而与积分变量的记号无关。

连续是可积的充分条件，二者的不同点是:二重积分的被积函数
是定义在平面区域上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域上的三元函数。

D,
f(x,y),0z,f(x,y)(2) 几何与物理意义:当时，表示以曲面为曲顶，以为
Df(x,y)d,,,D
,,f(x,y)f(x,y,z),0底的柱体体积，或表示以面积密度的平面薄片的质量。

当，D
,,f(x,y,z)f(x,y,z)dV表示体密度的空间立体的质量。

,,,,D
(3) 性质:重积分具有与定积分类似的线性性质，对区域的可加性，积分不等式，以及积分中值定理。

2(第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义
(1) 由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分，其定义简记为
n
,limf(,,,),S f(x,y)ds,iii,,,0,1il
f(x,y)ll其中函数在曲线上有定义切有界，是对的任意分割下的段的长度，i,SS,0ii
,,max{,S}。

i1,i,n
(2) 由求变力沿曲线所作功等问题，可引入对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的概念，其定
义简记为
n
,limP(,,,),x P(x,y)dx,iii,,,0,1il
n
,limQ(,,,),y Q(x,y)dy,iii,,,0,1il
,ll ，的意义同前，，为小弧段在坐标轴上的投影，其正负与的方向有
关。

,x,yii
3(两类曲面积分的定义
(1) 由计算曲面片的质量问题引入对面积的区面积分，其定义简记为
n
f(x,y,z)dS ,limf(,,,,,),S ,iiii,,,,0,1i,
f(x,y,z)其中在曲面上有定义，是的任意分割下第块的面积(，)i,S,,S,0ii ,,max{,S的直径}。

i1,,in
(2) 第二类曲面积分
P(x,y,z)dydz，Q(x,y,z)dzdx，R(x,y,z)dxdy,,,
n
,lim[P(,S)，Q(,S)，R(,S)] ,iiyziizxiixy,,0i,1
其中，，表示小片曲面在三个坐标面的投影，其正负与曲
(,S)(,S)(,S)iyzixyixz
面所取的侧有关。

q22例1(计算，由抛物线和直线所围的区域。

Dx,(q,0)y,2pxxydxdy,,2D q解:先求两曲线的交点，则 (,),pq2
qq32pxpqq2222xdxydy,ydyxdx,ppq原式,。

2,,,,y,,02pxpq212p
22222222V例2(计算，其中是由两球的公共部分所zdxdydzx，y，z,R,x，y，z,2Rz,,,V
组成。

2222,x，y，z,R3R,222,解:,x，y,Rz, ,22242,2x，y，z,Rz,
R322RR,r592522,drdrzdz,,R方法1:原式, 22,,,00R,R,r480
方法2:
RR222原式,，zdzdxdyzdzdxdyR,,,,,,02,,'zz
RR592222252,,,，,,,,z(2Rzz)dzz(Rz)dzRR,,04802方法3:
,,222cos,R,R,592424532dsincosdddsincosddR原
式, ,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,000004802。