即 满满 f(-x, y) = - f(x, y) ， 则 f(x, y)d 0;
D
设区域 D 关于 y 轴对称，函数 f(x, y) 在 D
上可 积， f (x, y) 关于 x 是 偶 函数，即
满足
f(-x,
y)
= f(x,
y) ，
并设
D
是
1
D
的右边
一半区域， 则 f(x, y)d 2 f(x, y)d .
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，
所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
y
•
(i,i )
i
o
n
x
Ml i0m i1(i,i)i.
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面 积 元 素
积 分 和
式
对二重积分定义的说明：
(1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 .
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
D
D1
设区域 D 关于 x 轴对称，函数 f(x, y) 在 D 上可 积可 如果 f(x, y) 关于 y 是奇函数，
即 满 足 f(x,-y) = - f(x, y) ， 则 f(x, y)d 0;
D
设区域 D 关于 x 轴对称，函数 f(x, y) 在 D
上可 积， f (x, y) 关于 y 是 偶 函数，即
2 , ， n，其中 i 表示第i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个 i 上任取一点(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i，
(i 1,2,,n)，
n
并作和
f
(i
,i
)
，
i
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，
高等数学二重积分概念及性质
一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×
高
特点：平顶.
zf(x,y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 播放
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．
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２、 若f (x, y)在平面有界闭区 D上域有界，并且 分 片 连 续 （ 即 可 D分把成 有 限 个 子 区 域 f (x, y)在每个子区域上都）连，续则f (x, y) 在 区 域D上 可 积 。
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
满足 f(x,-y)
= f(x,
y) ，
并设
D
是
2
D
的上边
一半区域， 则 f(x, y)d 2 f(x, y)d .
D
D2
例1 不作计算，估计 I e d ( x2 y2 )
D
的值，其中 D是椭圆闭区域：
x2 a2
y2 b2
1
(0 b a).
解 区域 D 的面积 ab
在 D 上 0 x 2 y 2 a 2 ,
的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
y
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来 划分区域D，
则面积元素为 故二重积分可写为
ddxdy
o
D
x
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
三、二重积分的存在性及几何意义
二重积分存在的充分条件
１、 若f(x,y)在平面有界D闭 上区 连域 续， 则f(x, y)在 区D域 上 可 积 。
D
D 1
D 2
性质４
若 为D的面积，
1dd.
D
D
性质５
若在D上
f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
特殊地
f(x,y)df(x,y)d.
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．
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步骤如下：
z 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，
四、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１
k 当 为常数时，
k (x f,y)d kf(x,y)d .
D
D
性质２
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
性质３
对区域具有可加性
(D D 1D 2)
f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域 D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
性质 8 设区域 D 关于 y 轴对称，函数 f(x, y) 在 D 上可 积可 如果 f(x, y) 关于 x 是奇函数，
zf(x,y)
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
xD
•
n
i
曲顶柱体的体积
Vlim 0
f(i,i)i.
m 1inaxi的直径i1
y
(i ,i )
２．求平面薄片的质量
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo 面 上 y 的 闭 区 域
D ， 在 点 (x ,y)处 的 面 密 度 为 (x ,y)， 假 定 (x ,y)在 D 上 连 续 ， 平 面 薄 片 的 质 量 为 多 少 ？
1e0ex 2 y2ea 2,
由 性 质 6知 e d (x2y2) ea2,
D
ab e d (x2y2) abea2.
D
例2
估计 I D
d
x2 y2 2xy 16 的值，
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解
f(x,y)
1, (xy)216
区 域 面 积 2 ,