D C
b
A
M
a
B
例5：
如图， OA ，OB 不共线， = t ⋅ AB t ∈R AP 用 OA， OB 表示 OP
P
(
)
B A
O
例6：
如图，已知 M、N分别是 ∆ABC两边的中点，
1 求证：MN // BC, MN = BC 2
A
M
N
B
C
小结
对于向量的加法、减法以及数乘的向量运算， 对于向量的加法、减法以及数乘的向量运算，统 称为向量的线性运算 又称为向量的初等运算 线性运算， 初等运算。 称为向量的线性运算，又称为向量的初等运算。 他们的运算法则在形式上很象实数加减法与乘法 满足的运算法则， 满足的运算法则，当然向量的运算与实数的运算 具体含义上是不同的，但是， 在具体含义上是不同的，但是，由于他们形式上 相类似，因此，实数运算中的去括号 移项， 去括号， 相类似，因此，实数运算中的去括号，移项，合 并同类项等变形手段在向量的线形运算中都可以 并同类项等变形手段在向量的线形运算中都可以 使用。 使用。 对于向量共线的充要条件 对于平面向量基本定理的理解
说明：对于运算律的验证同学们自己通过 作图可以完成。
两向量共线的充要条件
向量 b 与非零向量 a共线的充要条件是有且 只有一个实数 λ，使 b = λa 。
思考：若把“非零向量”的“非零”去 掉后， 原充要条件是否正确？
例1：
计算：
(1)(−3)×4a (2)3(a + b)− 2(a −b)− a (3)(2a + 3b − c)− (3a − 2b + c)
实数与向量的积
加油
1、实数与向量的积
实数 λ与向量 a的积是一个向量，记作 λa ，其长度 和方向规定如下： （1）
(1) λa = λ a
(2)当λ > 0时, λa与a同向
而 λ < 0时 λa与 反 当 , a 向 另 λ = 0时 λa = a) = (λµ)a (2)(λ + µ)a = λa + µa (3)λ(a + b) = λa + λb
如图，已知 AD = 3AB ， DE = 3BC 。 试判断 AC 与 AE是否共线？
E C A B
说明：向量共线的充要条件实际上是由实数与向 说明： 量的积的定义得到的，利用它常可以解决有关三 量的积的定义得到的， 点共线和两直线平行问题。 点共线和两直线平行问题。
D
例3：
如图：G为 ∆ABC 的重心 求证：1)AB + BC + CA = 0 (
A
(2)GA+ GB+ GC = 0 (3)GD+ GE + GF = 0 (4)PA+ PB + PC = 3PG
P为平面内任意一点
B
E F G C D P
4、平面向量基本定理
基本定理：如果 e、 是同一平面内的两个不共线 是同一平面内的两个不共线 1 e2 向量，那么对于这一平面内的任一向量 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， 有且只有一对实数 1 λ 有且只有一对实数 λ、 2，使
练习1 练习1
设 e、 是两个不共线的非零向量， 1 e2
CD BC 若向量 AB = 3e1 − 2e2 ， = −2e1 + 4e2 ， = −2e1 − 4e2
试证： A、 、 三点共线。 C D
练习2 练习2
已知
a b 向量不共线，问 c = 2a − b 与 、
d = 3a − 2b是否共线？
a = λ1e1 + λ2 e2
说明：我们把不共线的向量 e、 叫做表示这一平 1 e2 面内所有向量的一组基底。 面内所有向量的一组基底。
例4：
如图, 如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M, 且 AB = a, AD= b ,用 a 、b 表示 MA MB MC 和 MD ,用 、 、
说明：对比发现向量的运算法则同实数的运算法则相当类似,实 说明：对比发现向量的运算法则同实数的运算法则相当类似 实 际上,对于实数运算中的去括号、合并同类项、移项等， 际上 对于实数运算中的去括号、合并同类项、移项等， 对于实数运算中的去括号 在向量的运算中同样适用。 在向量的运算中同样适用。
例2：