实数与向量的乘积1.实数与向量的乘积：设λ为任意实数，a r 为任意的非零向量。
λ与a r的乘积是一个向量，记作______模：a λr 的模等于||a r 的_____倍，即||a λ=r_____方向：（1）当0λ>时，规定a λr 与a r的方向______ （2） 当0λ=时，规定a λ=r ______（3）当0λ<时，规定a λr 与a r的方向______由于规定了a λr 的模||a λr与a λr 的方向，这样a λr 就能确定了。
4.根据实数与向量的乘积的定义，可知a λr 与a r是____________的向量 5.两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是：存在非零实数λ，使b =r______6. 实数与向量的乘积满足以下运算律：设,R λμ∈，则（1）()a a a λμλμ+=+r r r （2）()()a a λμλμ=r r （3）()a b a b λλλ+=+r r r r7.已知非零向量a r 的单位向量0a =u u r ______，方向与向量a r______例2下列结论中⑴,a b r r 是两向量，则a b r r 与的关系必为,,a b a b a b >=<r r r r r r三者中的一个．⑵两个相等的向量，当它们的起点不同时，终点也一定不同． ⑶平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量． ⑷温度有零上与零下，因此温度是向量． 其中正确的序号为__________实数与向量的乘积 教学目标：1.理解实数与向量乘积的意义，知道λa ρ的大小、方向与a ρ的大小、方向之间的关系。
2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。
3.掌握两个非零向量a ，b 平行的充要条件是a =λb ，解决简单的几何问题。
4.掌握两个向量a ，b 平行的充要条件是λa +μb =0教学重点：1.理解实数与向量乘积的意义，知道λa ρ的大小、方向与a ρ的大小、方向之间的关系。
2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。
3.掌握两个非零向量a ，b 平行的充要条件是a =λb ，解决简单的几何问题。
教学难点：对向量平行的充要条件的理解和运用 教学过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a ρ 作出a ρ+a ρ+a ρ和(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)OC =++=a ρ+a ρ+a ρ=3a ρ=MN QM PQ ++=(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)=-3a ρ讨论：1︒3a ρ与a ρ方向相同且|3a ρ|=3|a ρ| 2︒-3a ρ与a ρ方向相反且|-3a ρ|=3|a ρ|2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρa ρa ρa ρa ρOABCa -a ρ-a ρ-aρ-NMQP定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ1︒|λa ρ|=|λ||a ρ|2︒λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 3．特别地，当0a =r r 时，我们规定R λ∈，都有0a λ=r r当1λ=时，规定1a a =r r ；当1λ=-时，规定(1)a -r与向量a r 的大小相等且方向相反，即(1)a a -=-r r4．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ①第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ②第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a ρ=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠有：|λ(μa ρ)|=|λ||μa ρ|=|λ||μ||a ρ||(λμ)a ρ|=|λμ|| a ρ|=|λ||μ||a ρ| ∴|λ(μa ρ)|=|(λμ)a ρ|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a ρ同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a ρ反向。
从而λ(μa ρ)=(λμ)a ρ第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a ρ=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠当λ、μ同号时，则λa ρ和μa ρ同向， ∴|(λ+μ)a ρ|=|λ+μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ||λa ρ+μa ρ|=|λa ρ|+|μa ρ|=|λ||a ρ|+|μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a ρ同向 即：|(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa ρ同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa ρ同向还可证：|(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ|∴②式成立 第二分配律证明：如果a ρ=0，b ρ=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a ρ≠，b ρ≠且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a ρ =AB b ρ =1OA λa ρ=11B A λb ρ 则=OBa ρ+b ρ =1OB λa ρ+λb ρ由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ||=λ|11B A | ==111λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ当λ<0时 可类似证明：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λ∴ ③式成立例1、计算（1）（-3）×4a （2） OABB 1A 11()()ab a b a ---+23例2、已知向量a r 与b r 为任意向量，化简：12126()4()3()2323a b a b a b -++-+r r r r r r三、非零向量平行的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a ρ(a ρ≠)、b ρ，实数λ，使a =λb 则由实数与向量积的定义知：a ρ与b ρ为平行向量若a ρ与b ρ平行(a ρ≠0)且||：||=μ，则当a ρ与b ρ同向时a =μb当a ρ与b ρ反向时a =-μb从而得：非零向量a ρ，b ρ平行的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使 a =λb 定理：非零向量a ρ，b ρ平行的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使 a =λb例3、已知AB AD 3=，BC DE 3=，试判断AC 与AE 是否共线。
解: ∵DE AD AE +=BC AB 33+=E)(3+= A CAC 3= B D∴AC 与AE 共线。
例4、在ABC ∆中，已知N M ,分别是AC AB ,的中点，用向量的方法证明：BC MN 21//例5、已知111,,OC k OC OB k OB OA k OA ===,求证：ABC ∆相似111C B A ∆实数与向量的乘积作业一、选择题1、下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a 、b 恒有：()b m a m b a m -=-；②对于实数m,n 和向量a ,恒有：B AC OA 1B 1C 1()a n a m a n m -=-；③若b m a m =(m ∈R)，则有：b a =；④若a n a m =(m 、n ∈R ，0≠a )，则m=n ．其中正确命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、设1e 和2e 为两个不平行的向量，则a =21e －2e 与b =1e +λ2e （λ∈R ）平行的充要条件是 （ ） A ．λ=0 B ．λ=－1 C ．λ=－2 D ．λ=－213、下列各式或命题中：① →→→=-BC AC AB ② →→→=+0BA AB ③ →→=•00AB ④若两个非零向量a 、b 满足 b k a = (k ≠0)，则a 、b 同向． 正确的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．34、点G 是△ABC 的重心，D 是AB 的中点，则GA +GB GC -等于 （ ） A ．4GD B ．－4GD C ．6GD D ．－6GD5、在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，若 →BC =3a , →DC =2b , 则→AO 等于 （ ） A ．21(3a +2b ) B ．21(3a －2b ) C ．21(2b －3a ) D ．21(3b +2a ) 6、若向量方程2x －3(x －2a )=0,则向量x （ ）A ．56a B ．－6a C ．6a D ．－56a 二、填空题7、已知向量j i a 32-=，j i b -=5，则4a －3b =_____________． 8、在ABCD 中，→AC = a ，→BD =b ，则→AB =_____ __，→AD =______ ___．9、梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2||CD AB =，M 、N 分别是 DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AD =b ，用a ，b 表示 BC 和MN ，则BC = ；=MN ． 10、若ABCD 的中心为O ，P 为该平面上一点，a PO =，那么NA BDM C=+++PD PC PB PA ．11、设a 、b 为二不平行向量，如果k a +b 与a +k b 平行，那么k= ． 12、已知M 、N 是线段AB 的三等分点，对平面上任一点O ，用OB OA ,来表示ON OM ,，=OM ；=ON ．三、解答题13、如图所示，在任意四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC的中点，求证：EF DC AB 2=+．14、ΔABC 中，AB =a ，AC =b ，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，AD ：DB=AE ：EC ，证明：DE 与BC 平行．15、如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN=31BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．参考答案 一、选择题1.C2.D3.C4.A5. A6.C二、填空题7.j i 97-- 8.()b a AB -=21；()b a AD +=21． 9.b a BC +-=21；b a MN -=41． 10.PO 4．11.1±=k ． 12.OB OA OM 3132+=；3231+=．三、解答题13.解：∵BF AB EA EF ++=，CF DC ED EF ++=， ∴ DC AB EF +=2． 14. 解：∵EC AE DB AD =，∴ k ACAEAB AD ==， ∵ ()BC k AB AC k AD AE DE =-=-=，∴ BC DE //． 15.解：∵ CB CD BD -=，∴ ()CD CB BD CB CN +=+=23131， ∵ ()CN CD CB CD CB BM CB CM 2322321=+=+=+=，∴ CM CN //，即：M 、N 、C 三点共线．。