绝密★启用前 试卷类型：A
2011年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科） 2011.3
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：
如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()； 如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()； 若柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为V Sh =；
若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为1
3
V Sh =．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则
A ．11a b =-=，
B ．11a b =-=-，
C ．11a b ==-，
D ．11a b ==，
2．已知p ：
“a =，q ：“直线0x y +=与圆221x y a +-=()相切”．则p 是q 的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424S
S =，则64
S S 的值为
A ．
9
4
B ．
32
C ．
54
D ．4
4．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围
成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A ．24
π B ．34π C ．
2
2π
D ．
3
2π 5．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是
A ．450元
B ．500元
C ．550元
D ．600元
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为
A ．2
B ．1
C ．23
D ．13
10040
020一号 二号 三号 四号
五号
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
7．设平面区域D 是由双曲线2
2
14
y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的
边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为
A ．24
B ．25
C ．4
D ．7
8．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '
=()的图象如图所示．
下列关于函数f x ()的命题： ①函数y f x =()是周期函数； ②函数f x ()在0 2[，]是减函数；
③如果当 1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点． 其中真命题的个数有 A ．4个 B ．3个 C ．2个
D ．1个
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题
两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知全集U =R ，集合A 为函数ln 1f x x =-()()的定义域，则U A ð= ． 10．设随机变量2~N 1 3X (，)，且06P X P X a ≤=>-()()，则实数a 的值为 ． 11．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若
向量222
4 1p a b c q S =+-= ()
()，，，满足//p q ，则C ∠= ． 12．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．
13．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，
则二项式6
(的展开式中含2x 项的
系数是 ．
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “：=” ）
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题
的得分．
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P 是直线 :cos sin 4l ρθθ+=()上任一点，Q
是圆24cos 3C ρρθ=-:上任一点，则PQ 的最小值是 ．
15．（几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，
1OB PB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE = ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数cos sin 2424
x x f x x ππ
=++-+π()()()()．
（1）求f x ()的最小正周期； （2）若将f x ()的图象向右平移6
π
个单位，得到函数g x ()的图象，求函数g x ()在区间0π[，]上的最大值和最小值．
B
C
D
E
P
O
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm），这30名志愿者的身高如下：
男女
9 15 7 7 8 9 9
9 8 16 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 3 4 5 6
7 4 2 1 18 0 1
1 19
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，30
BAC
∠=︒，BM AC
⊥交AC于点M，EA⊥平面ABC，//
FC EA，431
AC EA FC
===
，，．
（1）证明：EM BF
⊥；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
A
B C
E
F
M
O
∙
已知点F 是椭圆2
22
101x y a a +=>+()的右焦点，点 0M m (，)、0 N n (，)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅= ．若点P 满足2OM ON PO =+
．
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA ，OB 与直线
x a =-分别交于点S ，T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足
2
21n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=
⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．
（1）求1a ，d 和n T ；
（2）若对任意的n *N ∈，不等式81n n T n λ<+⋅-()恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数m n ，1m n <<()，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有
m n ，的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数ln 1
a
f x x a x =+∈+R ()()． （1）当9
2
a =
时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；
（3）求证：1111
ln 135721
n n +>+++++ ()n ∈*N ()．。