实验一谐波分析实验波形分解、合成不失真条件研究潘杰精74班2007010586一、实验目的1. 了解分解、合成非正弦周期信号的物理过程。

2. 观察合成某一确定的周期信号时，所必须保持的合理的频率结构，正确的幅值比例和初始相位关系。

二、实验原理对某一个非正弦周期信号x(t)，若其周期为T 、频率为f ，则可以分解为无穷项谐波之和。

即 010012()sin()sin(2)n n n n n n n x t a A t T a A nf t πϕπϕ∞=∞==++=++∑∑ 上式表明，各次谐波的频率分别是基波频率f 0的整数倍。

如果f(t)是一个锯齿波，其波形如图1所示，其数学表达式为： (), 02()()E E x t t t T T x t nT x t =-≤≤+= -E/2E/2-T T t x(t)图1对f(t)进行谐波分析可知00, , 2n n E a A n φππ===所以101002()sin()2 sin(2)21 {sin(2)sin[2(2)]...}22n n E n x t t n T E nf t n E f t f t πππππππππππ∞=∞==+=+=++++∑∑ 即锯齿波可以分解成为基波的一次、二次•••n 次•••无数项谐波之和，其幅值分别为基波幅值的1n ，且各次谐波之间初始相角差为零（基波幅值为2E π）。

反过来，用上述这些谐波可以合成为一个锯齿波。

同理，只要选择符合要求的不同频率成份和相应的幅值比例及相位关系的谐波，便可近似地合成相应的方波、三角波等非正弦周期波形。

三、实验内容3.1 合成方波周期方波信号x(t)在一个周期中的表达式为： 1, 02() 1, 02T t x t Tt ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩波形如图2所示图2 方波波形傅立叶级数为：4, 1,3,5...0, b , 0(1,3,5...)0, 2,4,6...n n n n a n n n φπ⎧=⎪====⎨⎪=⎩展开成傅里叶级数表达式为：411()(sin sin 3sin 5...)35x t t t t π=+++ 3.1.1 观察基波与三次谐波幅值分别为1、1/3，相位差为零时的合成波波形，如图3所示。

图3基波、3次谐波及合成波形3.1.2 分别将5次、7次、9次…谐波叠加进去，观察并记录合成波的波形，找出合成波的形状与谐波次数之间有何关系1）将5次谐波叠加进去，如图4所示图4基波、3次谐波、5次谐波及合成波形2）将7次谐波叠加进去，如图5所示图5基波、3次谐波、5次谐波、7次谐波及合成波形3）将9次谐波叠加进去，如图6所示图6 基波、3次谐波、5次谐波、7次谐波、9次谐波及合成波形4）将11次谐波叠加进去，如图7所示图7 基波、3次谐波、5次谐波、7次谐波、9次谐波、11次谐波及合成波形分析：(1) 随着叠加谐波次数的增加，合成波的形状越来越接近方波波形，这可以从方波的傅立叶级数展开式中看出，方波可以看作无穷多个谐波的叠加，合成的谐波的次数越多，合成的波形与方波越接近；(2)合成波幅值接近于方波的幅值，且在方波幅值上下波动，合成波波峰和波谷数目相等，等于最高谐波次数(3)方波与基波具有相同的零点3.1.3分别改变3次、5次谐波与基波间的相角，研究谐波间相角改变对合成波形的影响，并记录波形。

1）3次谐波相角分别改变90度、180度，如图8所示图8 改变3次谐波相角2）5次谐波相角分别改变90度、180度，如图9所示图9 改变5次谐波相角分析：(1)改变谐波的相角，合成波形出现了失真(2) 改变三次谐波的相角对合成波形的影响比改变五次谐波相角要大，依次推断，改变低次谐波的相角对合成波形的影响比改变高次谐波相角更大。

3.1.4分别改变3次、5次谐波与基波间的幅值比例关系，研究谐波间幅值比例改变对合成波形的影响，并记录波形。

1）改变3次谐波幅值与基波幅值比分别为1：8、1：1，如图10所示图10 改变3次谐波与基波间幅值比2）改变5次谐波幅值与基波幅值比分别为1：8、1：1，如图11所示图11 改变5次谐波与基波间幅值比3）改变11次谐波幅值为基波的1/200，如图12所示图12 减小11次谐波的幅值分析：(1) 改变谐波幅值，波形出现了失真，且幅值改变越大，合成波形偏离方波越严重(2) 谐波幅值增大对于合成波形影响较大，低次谐波幅值减小对于合成波形影响较大，而高次谐波幅值减小对波形影响较小3.2 合成锯齿波锯齿波信号x(t)在一个周期中的表达式为： (), 02()()A A x t t t T T x t nT x t =-+≤≤+= 波形如图13所示：图13 锯齿波波形展开成傅里叶级数表达式为：001()sin()sin(2)...22Ax t t t ωπωππ⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦3.2.1 观察基波与2次、3次谐波，幅值满足傅立叶级数表达式，相位差为零时的合成波波形，如图14所示图14 基波、2次谐波、3次谐波及合成波形3.2.2分别将4次、5次、6次…12次谐波叠加进去，观察并记录合成波的波形，找出合成波的形状与谐波次数之间有何关系），如图15所示图15 各次谐波及合成波形（1）随着谐波次数的增加，合成波的形状越来越接近锯齿波波形（2）方波与基波具有相同的零点。

3.2.3分别改变3次、5次谐波与基波间的相角，研究谐波间相角改变对合成波形的影响，并记录波形。

1）3次谐波相角分别改变90度、180度，如图16所示图16 改变3次谐波相角改变2）5次谐波相角分别改变90度、180度，如图17所示图17 5次谐波相角改变（1）改变谐波的相角，合成波形出现了失真（2）改变三次谐波的相角对合成波形的影响比改变五次谐波相角要大，依次推断，改变低次谐波的相角比改变高次谐波相角对合成波形的影响更大。

3.2.4分别改变3次、5次、9次谐波与基波间的幅值比例关系，研究谐波间幅值比例改变对合成波形的影响，并记录波形1) 改变3次谐波幅值与基波幅值比分别为1：8、1：1，如图18所示图18 3次谐波幅值改变2）改变5次谐波幅值与基波幅值比分别为1：8、1：1，如图19所示图19 5次谐波幅值改变3）改变11次谐波幅值与基波幅值比分别为1：200、1：1，如图20所示图20 11次谐波幅值改变分析：（1）改变谐波幅值，波形出现了失真，且幅值改变越大，合成波形偏离方波越严重（2）谐波幅值增大对于合成波形影响较大，越高次谐波幅值增大对于波形失真的影响越严重，低次谐波幅值减小对于合成波形影响较大，而高次谐波幅值减小对波形影响较小3.2.5 锯齿波与方波的比较：对于方波和锯齿波，用傅立叶分析的方法合成波形都能很好的近似，锯齿波的傅里叶展开有n 次项，即n 次谐波，而方波只有奇次项，在近似时，同样的次数叠加，锯齿波的波形更为相近；改变相角和幅值对于合成波形的影响基本一致。

3.3 合成三角波三角波信号x(t)在一个周期中的表达式为： ()(14), ()()t x t A t T Tx t nT x t =-<+= (1)波形如图21所示：图21 三角波波形展开成傅里叶级数表达式为：0002811()[cos()cos(3)cos(5)...]925A x t t t t ωωωπ=++ 3.3.1 观察基波与三次谐波幅值分别为1、1/9，相位差为零时的合成波波形，如图22所示图22 基波、三次谐波和合成波形3.3.2将5次、7次、9次…15次谐波叠加进去，观察并记录合成波的波形，找出合成波的形状与谐波次数之间有何关系），如图23所示图23 五次、七次、九次谐波及合成波形分析：（1）随着谐波次数的增加，合成波的形状越来越接近三角波波形，由于三角波形状与三角函数相似，所以按傅立叶级数合成后波形非常接近三角波（2）基波与方波具有相同的零点。

（3）各次谐波的幅度都不会超过三角波的幅度3.3.3分别改变3次、5次谐波与基波间的相角，研究谐波间相角改变对合成波形的影响，并记录波形。

1）3次谐波相角分别改变90度、180度，如图24所示图24 改变3次谐波相角2）5次谐波相角分别改变90度、180度，如图25所示图25 改变5次谐波相角分析：（1）改变谐波的相角，合成波形出现了失真（2）改变三次谐波的相角对合成波形的影响较大，而改变五次谐波相角对波形影响甚小，依次推断，低次谐波的相角改变对合成波形的影响比改变高次谐波相角更大。

3.3.4分别改变3次、5次、9次谐波与基波间的幅值比例关系，研究谐波间幅值比例改变对合成波形的影响，并记录波形。

1）改变3次谐波幅值与基波幅值比分别为1：36、1：1，如图26所示图26 改变三次谐波幅值2）改变5次谐波幅值与基波幅值比分别为1：100、4：25，如图27所示图27 改变5次谐波幅值3）改变9次谐波幅值与基波幅值比分别为1：324、1：9，如图18所示图28 改变9次谐波幅值分析：（1）改变谐波幅值，波形出现了失真，且幅值改变越大，合成波形偏离越严重（2 低次谐波幅值改变比同比例改变高次谐波幅值对于合成波形影响大得多，除基波外增大谐波幅值比减少谐波幅值对合成波形影响大。

3.3.5三角波与方波、锯齿波的比较：由分析可知，用傅立叶分析方法对于三种波形都有很好的近似，谐波级数越高，合成波形越接近真实波形；对于三种波形，改变谐波与基波间相位和幅值对于合成波的波形、幅值的影响大致相同；三角波与方波相同，只具有奇数次谐波，但三角波初始相位与方波相差2π；与方波、锯齿波不同，三角波各次谐波幅值为基波幅值的21n，所以高次谐波对与三角波的影响最小；三角波在较低级次谐波叠加下波形就能很好的近似，这是因为三角波波形和余弦函数相似，而方波和锯齿波只有在高级次谐波叠加下波形才近似相同。

四、问题讨论4.1 在合成波形时，各次谐波间的相角关系与幅值比例关系，哪一个对合成波形的影响更大？答：由前面的分析可以看出改变低次谐波的幅值和相角比改变高次谐波幅值和相角对于波形的影响更大，尤其改变高次谐波相角对于波形影响甚小，观察实验波形发现，在不改变基波的前提下，改变相角对于波形的影响要比改变幅值比例对于波形的影响更大，相角的改变，会很大程度上改变合成波形的形状，而幅值比例的变化只会影响谐波分量幅值的大小，不影响合成波形的大体形状。

4.2 如果用正弦波去合成波形，在合成三角波时，三次谐波的相位与合成方波、锯齿波时的相位是否一样？答：不一样。

用正弦波去合成这三种波形，则傅里叶级数展开式分别为：方波： 000411()(s i n s i n 3s i n 5...)35Ax t t t t ωωωπ=+++ 锯齿波： 00011()[sin()sin(2)sin(3)...]223A x t t t t ωπωπωππ=+++++ 三角波： 2811()[s i n ()s i n (3)s i n (5)...]292252A x t t t t πππππππ=+++++ 因此，在合成方波、锯齿波、三角波时三次谐波相位分别为：0、π、π/2，三者不相同。