抛物线的性质适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版课时时长（分钟）60知识点1、抛物线的简单性质2．抛物线性质的应用3．直线与抛物线问题教学目标1．知识与技能(1)探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．(2) 掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．教学过程课堂导入太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．师：抛物线有几个焦点？【提示】一个．师：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．师：抛物线有对称中心吗？【提示】没有．师：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？【提示】有；1条．一、复习预习1、复习抛物线的定义及标准方程的内容2、提问双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？（从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质．）二、知识讲解考点1 抛物线性质考点2 直线与抛物线1、通径：过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且垂直于抛物线的轴的弦AB ，叫做抛物线的通径， 其长为叫做抛物线的2p ．2、抛物线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则20px PF +=；y 2=2px(p ＜0＝上任意一点，F 为焦点，则20p x PF +-=； 3、抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),则有如下结论：（1）AB ＝x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=－p 2，x 1x 2=42p ;三、例题精析【例题1】【题干】已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程．【答案】y2＝±42x.【解析】由题意，设拋物线方程为y2＝ax(a≠0)．焦点F(a4，0)，直线l：x＝a4，∴A、B两点的坐标分别为(a4，a2)，(a4，－a2)，∴AB＝|a|，∵△OAB的面积为4，∴1 2·|a4|·|a|＝4，∴a＝±42，∴拋物线的方程为y2＝±42x.【例题2】【题干】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x29＋y216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．【答案】y2＝20x或y2＝－20x.【解析】∵椭圆x29＋y216＝1的焦点在y轴上，∴椭圆x29＋y216＝1短轴所在的直线为x轴．∴抛物线的对称轴为x轴．∴设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)．∴|m4|＝5，∴m＝±20.∴所求抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x.【例题3】【题干】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且AB＝52p，求AB所在直线的方程．【答案】y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．【解析】法一 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <52p .所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0.由⎩⎨⎧ y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2.∴AB ＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝ 1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．法二 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知，AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p 2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，AB ＝2p <52p ，所以直线AB 与Ox 不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)．由⎩⎨⎧ y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2(x－p 2)或y ＝－2(x －p 2)．【例题4】【题干】斜率为1的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．2【答案】10【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线x2＝8y，焦点弦长AB＝p＋(y1＋y2)＝4＋(y1＋y2)．因为抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，且直线AB的斜率为12，所以直线AB的方程为y＝12x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以AB＝10.即线段AB的长为10.【例题5】【题干】已知P是抛物线y2＝4x上任意一点，点A(a,0)，试求当P A最小时P点的坐标．【答案】P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2a－2)．【解析】设P(x，y)，则P A＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋4x＝[x－(a－2)]2＋4a－4.∵x≥0，a∈R，∴需分类讨论如下：(1)当a－2≤0即a≤2时，P A的最小值为|a|，此时P(0，0)．(2)当a－2＞0即a＞2时，则x＝a－2，P A取得最小值为2a－1，此时P(a－2，±2a－2)．综上所述，P A最小时，P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2a－2)．【例题6】【题干】求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．【答案】728.【解析】 法一 设抛物线y ＝x 2上一点P (x 0，y 0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为d ，则d ＝|x 0－y 0－2|2＝|x 20－x 0＋2|2＝12|(x 0－12)2＋74|. 当x 0＝12时，d min ＝728.法二 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x －y ＋m ＝0消去y 得x 2－x －m ＝0令Δ＝1＋4m ＝0得m ＝－14， ∴切线方程为x －y －14＝0，∴最短距离为d ＝|－2＋14|2＝78 2.【例题7】【题干】求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【答案】x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.【解析】若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，∴直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由题意设直线的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x 消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，有⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，有Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，即方程为y ＝12x ＋1的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为x＝0或y＝1或y＝12x＋1.四、课堂运用【基础】1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．【答案】y2＝8x【解析】∵p＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.22．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．【答案】2p【解析】通径长为2p.3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．【答案】10【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是________．【答案】32【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32.【巩固】1．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．【答案】12 3【解析】设△AOB边长为a，则A(32a，a2)，∴a24＝6×32a.∴a＝12 3.2．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则1m＋1n＝________.【答案】4a【解析】由焦点弦性质知1PF ＋1FQ＝2p，抛物线的标准方程为x2＝1a y(a>0)，∴2p＝1a，p＝12a，∴1 PF ＋1FQ＝4a，即1m＋1n＝4a.3．已知弦AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【答案】相切【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，如图，则AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p.设A，B，M到准线l：x＝－p2距离分别为d1，d2，d，则有d1＝x1＋p2，d2＝x2＋p2，d＝d1＋d22＝x1＋x2＋p2＝AB2，∴以AB为直径的圆与拋物线的准线相切．4．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．【答案】26【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则x20＝6，解得x0＝±6，所以水面宽为26米．【拔高】1．设抛物线顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，M 为抛物线上任一点，若点M 到直线l ：3x ＋4y －14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【答案】x 2＝－16y .【解析】 设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0. ∴Δ＝0即m ＝－98p .又d ＝|14－98p |5＝1，∴p ＝8或p ＝1529(舍)，∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y .2．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px (p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB (O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【答案】(1,0)．【解析】 直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0.所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p .由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．【答案】（1）-3；（2）(2,0)．【解析】 (1)设l ：my ＝x －1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3.(2)证明：设l ：my ＝x ＋n 与y 2＝4x 联立，得y 2－4my ＋4n ＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n .由OA →·OB →＝－4＝(m 2＋1)y 1y 2－mn (y 1＋y 2)＋n 2＝n 2＋4n ，解得n ＝－2，∴l ：my ＝x －2过定点(2,0)．课程小结1．由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，恰当地设出标准形式，利用待定系数法求解．2．当抛物线方程为y2＝2px(p>0)时，其焦点弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，替代一般弦长公式计算更为简洁，对其它标准方程，可以得出相应焦点弦弦长公式．3．抛物线的最值问题一般转化为函数最值问题，若是涉及到抛物线上的点坐标，应注意范围的限制．。